Bipolyar teorema - Bipolar theorem - Wikipedia

Yilda matematika, bipolyar teorema a teorema yilda funktsional tahlil bipolyarni tavsiflovchi (ya'ni qutbli to'plamning qutbidan). Yilda qavariq tahlil, bipolyar teorema a ga ishora qiladi zarur va etarli shartlar a konus unga teng bo'lish ikki qutbli. Bipolyar teoremani maxsus holat sifatida ko'rish mumkin Fenxel-Moro teoremasi.[1]:76–77

Dastlabki bosqichlar

Aytaylik X a topologik vektor maydoni (TVS) bilan doimiy er-xotin bo'shliq va ruxsat bering Barcha uchun xX va . The qavariq korpus to'plamning A, ko (bilan belgilanadiA), eng kichigi qavariq o'rnatilgan o'z ichiga olgan A. The qavariq muvozanatli korpus to'plamning A eng kichigi qavariq muvozanatli o'z ichiga olgan to'plam A.

The qutbli kichik to'plam A ning X quyidagicha aniqlanadi:

esa prepolar kichik to'plam B ning bu:

.

The ikki qutbli kichik to'plam A ning X, ko'pincha tomonidan belgilanadi A∘∘ to'plam

.

Funktsional tahlilda bayonot

Ruxsat bering ni belgilang zaif topologiya kuni X (ya'ni eng zaif TVS topologiyasi yoqilgan X barcha chiziqli funktsiyalarni davomiy).

Bipolyar teorema:[2] Ichki to'plamning bipolyar qismi A ning X ga teng - yopilishi qavariq muvozanatli korpus ning A.

Qavariq tahlildagi bayonot

Bipolyar teorema:[1]:54[3] Har qanday kishi uchun bo'sh emas konus A ba'zilarida chiziqli bo'shliq X, bipolyar to'plam A∘∘ tomonidan berilgan:
.

Maxsus ish

Ichki to‘plam C ning X bo'sh emas yopiq qavariq konus agar va faqat agar C++ = C∘∘ = C qachon C++ = (C+)+, qayerda A+ to'plamning musbat dual konusini bildiradi A.[3][4]Yoki umuman olganda, agar C bo'sh bo'lmagan konveks konus bo'lib, bipolyar konus tomonidan beriladi

C∘∘ = cl (C).

Bilan bog'liqlik Fenxel-Moro teoremasi

Ruxsat bering

bo'lishi ko'rsatkich funktsiyasi konus uchun C. Keyin qavariq konjugat,

bo'ladi qo'llab-quvvatlash funktsiyasi uchun Cva . Shuning uchun, C = C∘∘ agar va faqat agar f = f**.[1]:54[4]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ a b v Borwein, Jonathan; Lyuis, Adrian (2006). Qavariq tahlil va chiziqli bo'lmagan optimallashtirish: nazariya va misollar (2 nashr). Springer. ISBN  9780387295701.
  2. ^ Narici va Bekenshteyn 2011 yil, 225-273-betlar.
  3. ^ a b Boyd, Stiven P.; Vandenberghe, Liven (2004). Qavariq optimallashtirish (pdf). Kembrij universiteti matbuoti. 51-53 betlar. ISBN  9780521833783. Olingan 15 oktyabr, 2011.
  4. ^ a b Rokafellar, R. Tirrel (1997) [1970]. Qavariq tahlil. Princeton, NJ: Princeton University Press. 121-125 betlar. ISBN  9780691015866.

Bibliografiya