Fréchet bo'shliqlarida farqlanish - Differentiation in Fréchet spaces

Yilda matematika, xususan funktsional tahlil va chiziqli bo'lmagan tahlil, ni aniqlash mumkin lotin ikkitasi orasidagi funktsiya Frechet bo'shliqlari. Bu kabi farqlash tushunchasi Gateaux lotin Fréchet bo'shliqlari orasida, nisbatan zaifroq Banach makonidagi hosila, hatto umumiy o'rtasida topologik vektor bo'shliqlari. Shunga qaramay, bu ko'plab tanish teoremalar uchun farqlashning eng zaif tushunchasi hisob-kitob tutmoq. Xususan, zanjir qoidasi haqiqat. Fréchet bo'shliqlari va funktsiyalariga oid ba'zi qo'shimcha cheklovlar bilan o'xshashning o'xshashligi mavjud teskari funktsiya teoremasi deb nomlangan Nash-Mozer teskari funktsiya teoremasi, chiziqli bo'lmagan tahlilda keng qo'llanmalarga ega va differentsial geometriya.

Matematik tafsilotlar

Rasmiy ravishda, differentsiatsiya ta'rifi bilan bir xil Gateaux lotin. Xususan, ruxsat bering X va Y Fréchet bo'sh joylari, U ⊂ X bo'lish ochiq to'plam va F : U → Y funktsiya bo'lishi. Ning yo'naltirilgan hosilasi F yo'nalishda v ∈ X bilan belgilanadi

${displaystyle DF (u) v = lim _ {au ightarrow 0} {frac {F (u + v au) -F (u)} {au}}}$

agar chegara mavjud bo'lsa. Biri shunday deydi F doimiy ravishda farqlanadi yoki C¹ agar chegara hamma uchun mavjud bo'lsa v ∈ X va xaritalash

DF:U x X → Y

a davomiy xarita

Yuqori tartibli hosilalar induktiv orqali aniqlanadi

${displaystyle D ^ {k + 1} F (u) {v_ {1}, v_ {2}, nuqtalar, v_ {k + 1}} = lim _ {au ightarrow 0} {frac {D ^ {k} F (u + au v_ {k + 1}) {v_ {1}, nuqtalar, v_ {k}} - D ^ {k} F (u) {v_ {1}, nuqtalar, v_ {k}}} {au} }.}$

Funktsiya deyiladi C^k agar D.^kF : U x X x Xx ... x X → Y uzluksiz. Bu C^∞, yoki silliq agar shunday bo'lsa C^k har bir kishi uchun k.

Xususiyatlari

Ruxsat bering X, Yva Z Fréchet bo'shliqlari bo'ling. Aytaylik U ning ochiq pastki qismi X, V ning ochiq pastki qismi Yva F : U → V, G : V → Z juftligi C¹ funktsiyalari. Keyin quyidagi xususiyatlar mavjud:

• Hisoblashning asosiy teoremasi.

Agar chiziq segmenti a ga b butunlay ichida yotadi U, keyin

${displaystyle F (b) -F (a) = int _ {0} ^ {1} DF (a + (b-a) t) cdot (b-a) dt}$.

• The zanjir qoidasi.

D.(G o F)(siz)x = DG(F(siz))DF(siz)x Barcha uchun siz ε U va x ε X.

• Lineerlik.

DF(siz)x chiziqli x.^{[iqtibos kerak ]} Umuman olganda, agar F bu C^k, keyin DF(siz){x₁,...,x_k} x larda ko'p qirrali.

• Qolgan holda Teylor teoremasi.

Faraz qilaylik, orasidagi chiziq segmenti siz ε U va u + h butunlay ichida yotadi U. Agar F bu C^k keyin

${displaystyle F (u + h) = F (u) + DF (u) h + {frac {1} {2!}} D ^ {2} F (u) {h, h} + nuqtalar + {frac {1 } {(k-1)!}} D ^ {k-1} F (u) {h, h, nuqtalar, h} + R_ {k}}$

bu erda qolgan muddat berilgan

${displaystyle R_ {k} (u, h) = {frac {1} {(k-1)!}} int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {k-1} D ^ {k } F (u + th) {h, h, nuqtalar, h} dt}$

• Yo'naltirilgan hosilalarning kommutativligi. Agar F bu C^k, keyin

${displaystyle D ^ {k} F (u) {h_ {1}, ..., h_ {k}} = D ^ {k} F (u) {h_ {sigma (1)}, nuqtalar, h_ {sigma (k)}}}$ har bir kishi uchun almashtirish {1,2, ..., k} ning σ qismi.

Ushbu xususiyatlarning ko'pchiligining dalillari asosini quyidagini aniqlash mumkinligiga asoslanadi Riemann integrali Fréchet kosmosdagi uzluksiz egri chiziqlar.

Yumshoq xaritalar

Ajablanarlisi shundaki, Fréchet bo'shliqlarining ochiq to'plami orasidagi xaritalash silliq egri chiziqlarni xaritalasa silliq (cheksiz tez-tez farqlanadigan) bo'ladi; qarang Qulay tahlil.Bundan tashqari, silliq funktsiyalar oralig'idagi silliq egri chiziqlar bitta o'zgaruvchining ko'proq funktsiyasidir.

Differentsial geometriyadagi natijalar

Zanjir qoidasining mavjudligi a ni aniqlashga imkon beradi ko'p qirrali Frechet makonida modellashtirilgan: a Fréchet manifoldu. Bundan tashqari, lotinning lineerligi analogining mavjudligini anglatadi teginish to'plami Fréchet manifoldlari uchun.

Fréchet bo'shliqlari

Tez-tez lotinning amaliy qo'llanilishida paydo bo'ladigan Fréshhet bo'shliqlari qo'shimcha xususiyatga ega: ular uyalmoq. Taxminan aytganda, uyg'otadigan Fréchet maydoni bu deyarli Banach maydoni. Tame bo'shliqlarida xaritalar uchun ma'qul bo'lgan xaritalar sinfini belgilash mumkin. Uyg'un xaritalar ostidagi uyg'un bo'shliqlar toifasida, asosiy topologiya to'liq rivojlangan nazariyani qo'llab-quvvatlash uchun etarlicha kuchli. differentsial topologiya. Shu nuqtai nazardan, hisob-kitoblarning ko'plab boshqa usullari mavjud. Xususan, teskari va yopiq funktsiya teoremalarining versiyalari mavjud.

Adabiyotlar

• Xemilton, R. S. (1982). "Nash va Mozerning teskari funktsiya teoremasi". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 7 (1): 65–222. doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2. JANOB  0656198.