Zariski geometriyasi - Zariski geometry

Yilda matematika, a Zariski geometriyasi tomonidan kiritilgan mavhum tuzilishdan iborat Exud Xrushovskiy va Boris Zilber xarakteristikasini berish uchun Zariski topologiyasi bo'yicha algebraik egri chiziq va uning barcha vakolatlari. Mahsulotidagi Zariski topologiyasi algebraik navlar juda kamdan-kam hollarda mahsulot topologiyasi, lekin ikkita o'zgaruvchan to'plamni aralashtiradigan tenglamalar bilan aniqlangan yopiq to'plamlarga boy. Ta'riflangan natijalar shuni anglatadiki, juda aniq ma'noga ega proektsion egri chiziqlar va ixcham Riemann sirtlari jumladan.

Ta'rif

A Zariski geometriyasi to'plamdan iborat X va a topologik tuzilish to'plamlarning har birida

X, X², X³, …

ma'lum aksiomalarni qondirish.

(N) Har biri Xⁿ a Noetriya topologik makoni, eng katta o'lchamdagi n.

Noeteriya makonlari uchun ba'zi bir standart atamalar endi qabul qilinadi.

(A) Har birida Xⁿ, tenglik bilan aniqlangan pastki to'plamlar n-panjara yopiq. Xaritalar

X^m → Xⁿ

aniq koordinatalarni proektsiyalash va boshqalarni doimiy sifatida belgilash bilan aniqlanadi.

(B) Proektsiya uchun

p: X^m → Xⁿ

va an qisqartirilmaydi yopiq ichki qism Y ning X^m, p(Y) yopilishi orasida yotadi Z va Z \ Z′ Qaerda Z′ To'g'ri yopiq kichik to'plamdir Z. (Bu miqdorni yo'q qilish, mavhum darajada.)

(C) X qisqartirilmaydi.

(D) Har qanday yopiq to'plamning proektsiyasida tolaning elementlari soniga bir xil bog'liqlik mavjud X^m, tolalar bo'lgan holatlardan tashqari X.

(E) yopiq qisqartirilmaydigan kichik qism X^m, o'lchov r, qaysi diagonal pastki to'plam bilan kesishganda s koordinatalar teng ravishda o'rnatiladi, o'lchamning barcha tarkibiy qismlariga ega r − s + 1.

Keyinchalik talab qilinadigan shart deyiladi juda keng (qarang juda keng chiziqli to'plam ). Tuzatib bo'lmaydigan yopiq to'plam mavjud deb taxmin qilinadi P ba'zilari X^mva qisqartirilmaydigan yopiq ichki qism Q ning P× X², quyidagi xususiyatlarga ega:

(I) berilgan juftliklar (x, y), (x′, y′) In X², kimdir uchun t yilda P, to'plami (t, siz, v) ichida Q o'z ichiga oladi (t, x, y) lekin emas (t, x′, y′)

(J) Uchun t ning to'g'ri yopiq kichik to'plamidan tashqarida P, to'plami (x, y) ichida X², (t, x, y) ichida Q qisqartirilmaydigan yopiq o'lchovlar to'plami 1.

(K) Barcha juftliklar uchun (x, y), (x′, y′) In X², tegishli yopiq ichki qismdan tanlangan, ba'zilari mavjud t yilda P shunday qilib (t, siz, v) ichida Q o'z ichiga oladi (t, x, y) va (t, x′, y′).

Geometrik ravishda bu (I) nuqtalarni ajratish va (K) nuqtalarni ulash uchun etarlicha egri chiziqlar mavjudligini aytadi; va bunday egri chiziqlar bitta raqamdan olinishi mumkin parametrli oila.

Keyin Xrushovskiy va Zilber ushbu sharoitda an mavjudligini isbotlaydilar algebraik yopiq maydon Kva a yagona bo'lmagan algebraik egri chiziq Cshunday, uning Zariski kuchlari geometriyasi va ularning Zariski topologiyasi berilganga izomorfdir. Qisqacha aytganda, geometriyani algebraizatsiya qilish mumkin.

Adabiyotlar

• Xrushovskiy, Ehud; Zilber, Boris (1996). "Zariski geometriyalari" (PDF). Amerika Matematik Jamiyati jurnali. 9 (01): 1–56. doi:10.1090 / S0894-0347-96-00180-4.