Watsons lemma - Watsons lemma - Wikipedia

Matematikada, Uotson lemmasitomonidan isbotlangan G. N. Uotson (1918, 133-bet), nazariyasi doirasida muhim qo'llanilishga ega asimptotik xatti-harakatlar ning integrallar.

Lemma haqida bayonot

Ruxsat bering sobit bo'lishi. Faraz qiling , qayerda ning mahallasida cheksiz sonli hosilalar mavjud , bilan va .

Aytaylik, qo'shimcha ravishda, bu ham

qayerda dan mustaqildirlar yoki bu

Keyin, barchasi ijobiy bo'lishi haqiqatdir bu

va quyidagilar asimptotik ekvivalentlik ushlab turadi:

Masalan, qarang Vatson (1918) asl dalil uchun yoki Miller (2006) so'nggi rivojlanish uchun.

Isbot

Biz buni taxmin qiladigan Vatson lemmasining versiyasini isbotlaymiz sifatida maksimal darajada o'sishga ega . Isbotning asosiy g'oyasi shundaki, biz taxmin qilamiz uning Teylor seriyasining juda ko'p shartlari bo'yicha. Ning hosilalari beri faqat kelib chiqadigan mahallada mavjud deb taxmin qilinadi, biz amalda integralning dumini olib tashlash orqali davom etamiz Qolgan holda Teylor teoremasi qolgan kichik oraliqda, so'ngra yana quyruqni qo'shib qo'ying. Har bir qadamda biz qancha tashlayotganimizni yoki qo'shganimizni diqqat bilan baholaymiz. Ushbu dalil topilgan modifikatsiyadir Miller (2006).

Ruxsat bering va buni taxmin qiling shaklning o'lchanadigan funktsiyasi , qayerda va oralig'ida cheksiz ko'p doimiy hosilalar mavjud kimdir uchun va bu Barcha uchun , bu erda doimiylar va dan mustaqildirlar .

Biz integralning cheklangan ekanligini ko'rsatishimiz mumkin yozish orqali etarlicha katta

va har bir davrni taxmin qilish.

Birinchi davr uchun bizda

uchun , bu erda oxirgi integral bu taxminlar bilan cheklangan oralig'ida uzluksiz bo'ladi va bu . Ikkinchi muddat uchun biz shunday taxminni qo'llaymiz buni ko'rish uchun cheksiz chegaralangan, chunki ,

Dastlabki integralning cheklanganligi uchburchak tengsizligini qo'llashdan kelib chiqadi .

Yuqoridagi hisob-kitobdan shuni xulosa qilishimiz mumkin

kabi .

Murojaat qilish orqali Qolgan holda Teylor teoremasi har bir tamsayı uchun buni bilamiz ,

uchun , qayerda . Buni birinchi muddatga ulash biz olamiz

Qoldiqni o'z ichiga olgan atamani bog'lash uchun biz shunday degan taxminni qo'llaymiz oralig'ida uzluksiz bo'ladi va xususan, u erda cheklangan. Shunday qilib, biz buni ko'ramiz

Bu erda biz haqiqatdan foydalanganmiz

agar va , qayerda bo'ladi gamma funktsiyasi.

Yuqoridagi hisob-kitoblardan biz buni ko'rib turibmiz bu

kabi .

Endi biz har bir integralga dumlarni qo'shamiz . Har biriga bizda ... bor

va biz qolgan integrallarning eksponent jihatdan kichikligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, agar biz o'zgaruvchilar o'zgarishini qilsak biz olamiz

uchun , Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

Agar biz ushbu so'nggi natijani o'rniga qo'yadigan bo'lsak biz buni topamiz

kabi . Nihoyat, buni o'rniga qo'yish biz shunday xulosa qilamiz

kabi .

Ushbu oxirgi ifoda har bir butun son uchun to'g'ri kelganligi sababli biz buni ko'rsatdik

kabi , bu erda cheksiz qator an sifatida talqin etiladi asimptotik kengayish ko'rib chiqilayotgan integralning.

Misol

Qachon , birlashuvchi gipergeometrik funktsiya birinchi turdagi ajralmas ko'rinishga ega

qayerda bo'ladi gamma funktsiyasi. O'zgaruvchilarning o'zgarishi buni shaklga qo'yadi

hozirda Uotson lemmasidan foydalanish mumkin. Qabul qilish va , Watson lemmasi bizga buni aytib beradi

degan xulosaga kelishimizga imkon beradi

Adabiyotlar

  • Miller, P.D. (2006), Amaliy asimptotik tahlil, Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati, p. 467, ISBN  978-0-8218-4078-8.
  • Vatson, G. N. (1918), "Parabolik silindr bilan bog'liq bo'lgan harmonik funktsiyalar", London Matematik Jamiyati materiallari, 2 (17), 116–148 betlar, doi:10.1112 / plms / s2-17.1.116.
  • Ablowits, M. J., Fokas, A. S. (2003). Murakkab o'zgaruvchilar: kirish va dasturlar. Kembrij universiteti matbuoti.