Uch o'lchovli aylanish operatori - Three-dimensional rotation operator - Wikipedia

Ushbu maqola. Ning asosiy xususiyatlarini keltirib chiqaradi aylanishlar yilda 3 o'lchovli bo'shliq.

Uchtasi Eyler rotatsiyalari olib kelish usullaridan biri qattiq tanasi ketma-ketlik bilan istalgan yo'nalishga aylanishlar o'qga nisbatan 'ob'ektga nisbatan belgilangan. Biroq, bunga bitta aylanish bilan ham erishish mumkin (Eylerning aylanish teoremasi ). Tushunchalaridan foydalanish chiziqli algebra ushbu bitta aylanishni qanday amalga oshirish mumkinligi ko'rsatilgan.

Matematik shakllantirish

Ruxsat bering (ê1, ê2, ê3) bo'lishi a koordinatalar tizimi yo'nalishni o'zgartirish orqali tanada o'rnatiladi A yangi yo'nalishlarga olib chiqilmoqda

Har qanday vektor

tanasi bilan aylantirib, keyin yangi yo'nalishga keltiriladi

ya'ni a chiziqli operator

The matritsa bu operator koordinata tizimiga nisbatan (ê1, ê2, ê3) bu

Sifatida

yoki teng ravishda matritsa yozuvida

matritsa ortogonal va o'ng qo'li bazali vektor tizimi sifatida boshqa o'ng qo'l tizimiga qayta yo'naltiriladi aniqlovchi Ushbu matritsaning qiymati 1 ga teng.

O'q atrofida aylanish

Ruxsat bering (ê1, ê2, ê3) ortogonal ijobiy yo'naltirilgan tayanch vektor tizimi bo'ling R3. Lineer operator "burchakka burilish θ tomonidan belgilangan o'q atrofida ê3"matritsasi mavjud

ushbu tayanch vektor tizimiga nisbatan. Bu vektor degan ma'noni anglatadi

vektorga aylantiriladi

chiziqli operator tomonidan. The aniqlovchi Ushbu matritsaning

va xarakterli polinom bu

Matritsa nosimmetrikdir va agar shunday bo'lsa gunoh θ = 0, ya'ni θ = 0 va θ = π. Ish θ = 0 shaxsni aniqlash operatorining ahamiyatsiz holati. Ish uchun θ = π The xarakterli polinom bu

shuning uchun aylanish operatorida o'zgacha qiymatlar

The xususiy maydon ga mos keladi λ = 1 aylanish o'qidagi barcha vektorlar, ya'ni barcha vektorlar

The xususiy maydon ga mos keladi λ = −1 aylanish o'qiga ortogonal bo'lgan barcha vektorlardan, ya'ni barcha vektorlardan iborat

Ning boshqa barcha qiymatlari uchun θ matritsa nosimmetrik emas va kabi gunoh2 θ > 0 faqat o'ziga xos qiymat mavjud λ = 1 bir o'lchovli xususiy maydon aylanish o'qidagi vektorlarning:

Burilish matritsasi burchak bilan θ umumiy aylanish o'qi atrofida k tomonidan berilgan Rodrigesning aylanish formulasi.

qayerda Men bo'ladi identifikatsiya matritsasi va [k]× bo'ladi ikki tomonlama shakl ning k yoki o'zaro faoliyat mahsulot matritsasi,

Yozib oling [k]× qondiradi [k]×v = k × v barcha vektorlar uchun v.

Umumiy ish

Operator "burchakka burilish θ yuqorida ko'rsatilgan "o'qi atrofida" ortogonal xaritalash va uning matritsasi har qanday bazaviy vektor tizimiga nisbatan ortogonal matritsa. Bundan tashqari, uning determinanti 1 qiymatga ega, ahamiyatsiz haqiqat aksincha, har qanday ortogonal chiziqli xaritalash uchun R3 determinant 1 bilan asosiy vektorlar mavjud ê1, ê2, ê3 shunday qilib matritsa "kanonik shakl" oladi

ning ba'zi bir qiymatlari uchun θ. Aslida, agar chiziqli operatorda ortogonal matritsa

ba'zi bir bazaviy vektor tizimiga nisbatan (1, 2, 3) va bu matritsa nosimmetrik bo'lib, "simmetrik operator teoremasi" ichida amal qiladi Rn (har qanday o'lchov) unga ega ekanligini aytib amal qiladi n ortogonal xususiy vektorlar. Bu koordinatali tizim mavjudligini 3 o'lchovli holat uchun anglatadi ê1, ê2, ê3 shunday qilib matritsa shaklni oladi

Ortogonal matritsa bo'lgani uchun bu diagonal elementlar BII $ 1 $ yoki $ -1 $. Determinant 1 bo'lganligi sababli, bu elementlar hammasi 1, yoki elementlardan biri 1 ga, qolgan ikkitasi esa -1 ga teng. Birinchi holda, bu mos keladigan ahamiyatsiz identifikator operatori θ = 0. Ikkinchi holatda u shaklga ega

agar bazaviy vektorlar raqamlangan bo'lsa, u o'z qiymati 1 ga teng bo'lgan ko'rsatkich 3 ga ega bo'ladi. Ushbu matritsa keyin kerakli shaklga ega bo'ladi θ = π.

Agar matritsa assimetrik bo'lsa, vektor

qayerda

nolga teng emas. Ushbu vektor o'ziga xos vektor bo'lib, uning qiymati o'ziga xosdir λ = 1. O'rnatish

va istalgan ikkita ortogonal birlik vektorlarini tanlash ê1 va ê2 ga ortogonal tekislikda ê3 shu kabi ê1, ê2, ê3 ijobiy yo'naltirilgan uchlikni hosil qiling, operator kerakli shaklni oladi

Yuqoridagi iboralar aslida bilan aylanishiga mos keladigan simmetrik aylanish operatori uchun ham amal qiladi θ = 0 yoki θ = π. Ammo farq shundaki θ = π vektor

nolga teng va o'ziga xos qiymat 1 va undan keyin aylanish o'qini topish uchun foydasiz.

Ta'riflash E4 kabi cos θ aylanish operatori uchun matritsa

sharti bilan

ya'ni holatlar bundan mustasno θ = 0 (identifikator operatori) va θ = π.

Kvaternionlar

Quaternions shunga o'xshash tarzda aniqlanadi E1, E2, E3, E4 yarim burchak farqi bilan θ/2 to'liq burchak o'rniga ishlatiladi θ. Bu shuni anglatadiki, dastlabki 3 komponent q1, q2, q3 dan aniqlangan vektorning tarkibiy qismlari

va to'rtinchi komponent bu skalar

Burchak sifatida θ kanonik shakldan aniqlangan intervalda

odatda bunday bo'lishi mumkin q4 ≥ 0. Ammo to'rtburchaklar bilan aylanishning "ikki tomonlama" tasviridan foydalaniladi, ya'ni (q1, q2, q3, q4)}} va (−q1, −q2, −'q3, −q4) bitta va bir xil aylanishning ikkita muqobil vakili.

Korxonalar Ek kvaternionlardan aniqlanadi

Kvaternionlardan foydalanib aylanish operatorining matritsasi

Raqamli misol

Ga mos keladigan yo'nalishni ko'rib chiqing Eylerning burchaklari a = 10°, β = 20°, γ = 30° berilgan tayanch vektor tizimiga nisbatan (1, 2, 3). Ushbu asosiy vektor tizimiga nisbatan mos keladigan matritsa (qarang Eyler burchaklari # Matritsa yo'nalishi )

kvaternion esa

Ushbu operatorning kanonik shakli

bilan θ = 44.537° bilan olinadi

Ushbu yangi tizimga nisbatan kvaternion keyin

Eulerning uchta aylanishini 10 °, 20 °, 30 ° qilish o'rniga 44.537 ° kattalikdagi bitta aylanada bir xil yo'nalishga erishish mumkin. ê3.

Adabiyotlar

  • Shilov, Georgi (1961), Chiziqli bo'shliqlar nazariyasiga kirish, Prentice-Hall, Kongress kutubxonasi 61-13845.