Tautologik to'plam - Tautological bundle

Yilda matematika, tavtologik to'plam a vektor to'plami sodir bo'lgan Grassmannian tabiiy tautologik usulda: vektorli bo'shliq ustidagi tola tolasi V (Grassmanniyadagi nuqta) bu V o'zi. Bo'lgan holatda proektsion maydon tautologik bog 'sifatida tanilgan tavtologik chiziq to'plami.

Tavtologik to'plam ham deyiladi universal to'plam chunki har qanday vektor to'plami (ixcham maydonda)^[1]) - bu tavtologik to'plamning orqaga tortilishi; bu Grassmannian degani bo'shliqni tasniflash vektor to'plamlari uchun. Shu sababli, tautologik to'plam to'plamni o'rganishda muhim ahamiyatga ega xarakterli sinflar.

Tautologik to'plamlar algebraik topologiyada ham, algebraik geometriyada ham tuzilgan. Algebraik geometriyada tavtologik chiziq to'plami (masalan teskari bob )

{ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}

,

The ikkilamchi ning giperplane to'plami yoki Serrening burama shingil ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1)}$ . Giperplane to'plami - bu giperplanga mos keladigan chiziq to'plami (bo'luvchi ) P^n-1 yilda Pⁿ. Tavtologik chiziq to'plami va giperplane to'plami aynan ikkitaning generatoridir Picard guruhi proektsion makon.^[2]

Yilda Maykl Atiya Tavtologik chiziq to'plami "K-nazariyasi" murakkab proektsion makon deyiladi standart chiziq to'plami. Standart to'plamning shar to'plami odatda Hopf to'plami. (qarang Bott generatori.)

Umuman olganda, a da tautologik to'plamlar mavjud proektsion to'plam vektor to'plami va a Grassmann to'plami.

Eski muddat kanonik to'plam degan asosda foydadan tushib ketdi kanonik matematik atamashunoslikda juda ko'p yuklangan va (bundan ham yomoni) bilan chalkashlik kanonik sinf yilda algebraik geometriya oldini olishning iloji yo'q edi.

Intuitiv ta'rif

Grassmannians ta'rifi bo'yicha parametr bo'shliqlari chiziqli pastki bo'shliqlar, berilgan o'lchovning, berilganning ichida vektor maydoni V. Agar G Grassmannian va V_g ning pastki fazosi V ga mos keladi g yilda G, bu allaqachon vektor to'plami uchun zarur bo'lgan deyarli barcha ma'lumotlar: ya'ni har bir nuqta uchun vektor maydoni g, doimiy ravishda o'zgarib turadi. Tavtologik to'plamning ta'rifini ushbu ko'rsatkichdan to'xtata oladigan narsa bu qiyin bo'lgan narsa V_g kesishmoqchi. Buni tuzatish - ning muntazam qo'llanilishi uyushmagan birlashma to'plam, shuning uchun to'plam proektsiyasi a dan umumiy joy ning bir xil nusxalaridan tashkil topgan V_g, endi kesishmaydi. Shu bilan bizda to'plam mavjud.

Proektsion kosmik quti kiritilgan. Konventsiya va foydalanish bo'yicha P(V) tautologik to'plamni foydali ravishda olib yurishi mumkin er-xotin bo'shliq sezgi. Ya'ni, bilan V^* er-xotin bo'shliq, nuqtalari P(V) ning vektor pastki bo'shliqlarini ko'taring V^* (ularning nurlari) deb qaralganda ularning yadrolari chiziqli funktsiyalar kuni V^*. Agar V o'lchovga ega n + 1, tavtologik chiziq to'plami bitta tautologik to'plamdir, ikkinchisi esa shunchaki tavsiflangan, martabali n.

Rasmiy ta'rif

Ruxsat bering G_n(R^n+k) bo'lishi Grassmannian ning n- o'lchovli vektor pastki bo'shliqlari R^n+k; to'plam sifatida bu barchaning to'plamidir nning o'lchovli vektor pastki bo'shliqlari R^n+k. Masalan, agar n = 1, bu haqiqiy proektivdir k- bo'shliq.

Tavtologik to'plamni aniqlaymiz_{n, k} ustida G_n(R^n+k) quyidagicha. To'plamning umumiy maydoni barcha juftliklar to'plamidir (V, v) nuqtadan iborat V Grassmannian va vektor v yilda V; unga Kartezyen mahsulotining pastki fazoviy topologiyasi berilgan G_n(R^n+k) × R^n+k. Proektsion xaritasi by (V, v) = V. Agar F ning oldingi tasviri V π ostida, unga vektor makonining tuzilishi berilgan a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw). Va nihoyat, mahalliy ahamiyatsizlikni ko'rish uchun, bir nuqta berilgan X Grassmanniyada ruxsat bering U barchaning to'plami bo'ling V shunday qilib, ortogonal proektsiya p ustiga X xaritalar V izomorfik ravishda X,^[3] keyin aniqlang

{ displaystyle phi: pi ^ {- 1} (U) to G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) marta X}

tomonidan ${ displaystyle phi}$ (V, v) = (V, p(v)), bu aniq gomomorfizmdir. Shunday qilib, natija vektor darajasining to'plamidir n.

Agar maydonni almashtirsak, yuqoridagi ta'rif mantiqiy davom etadi R tomonidan murakkab maydon C.

Ta'rifga ko'ra, cheksiz Grassmannian G_n bo'ladi to'g'ridan-to'g'ri chegara ning G_n(R^n+k) kabi k → ∞. To'plamlarning to'g'ridan-to'g'ri chegarasini olish γ_{n, k} tautologik to'plamni beradi_n ning G_n. Bu ma'noda universal to'plam: har bir ixcham maydon uchun X, tabiiy biektsiya mavjud

{ displaystyle [X, G_ {n}] to operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X), , f mapsto f ^ {*} ( gamma _ {n })}

bu erda chap qavs homotopiya sinfini, o'ng tomonda esa haqiqiy vektor to'plamlari izomorfizm sinflari to'plamini bildiradi. n. (Teskari xarita quyidagicha berilgan: beri X ixcham, har qanday vektor to'plami E ahamiyatsiz to'plamning pastki to'plami: ${ displaystyle E hookrightarrow X times mathbb {R} ^ {n + k}}$ kimdir uchun k va hokazo E xaritani aniqlaydi ${ displaystyle f_ {E} nuqta X dan G_ {n}, , x mapsto E_ {x}} gacha$ , homotopiyaga qadar noyob.)

Izoh: O'z navbatida, tautologik to'plamni universal to'plam sifatida aniqlash mumkin; tabiiy biektsiya mavjud deylik

{ displaystyle [X, G_ {n}] = operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X)}

har qanday kishi uchun parakompakt maydon X. Beri G_n ixcham bo'shliqlarning to'g'ridan-to'g'ri chegarasi, u parakompakt va shuning uchun noyob vektor to'plami mavjud G_n identifikatsiya xaritasiga mos keladigan G_n. Bu aniq tavtologik to'plamdir va cheklov bilan hamma tavtologik to'plamlarni oladi G_n(R^n+k).

Giper samolyot to'plami

The giperplane to'plami H haqiqiy proektivda k-bo'shliq quyidagicha ta'riflanadi. Umumiy maydoni H bu barcha juftliklar to'plami (L, f) chiziqdan iborat L kelib chiqishi orqali R^{k + 1} va f chiziqli funktsional L. Proektsion xaritasi by (L, f) = L (shunday qilib tola tugaydi L ning ikki tomonlama vektor maydoni L.) Qolganlari xuddi tavtologik chiziqlar to'plamiga o'xshaydi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, H bo'ladi juft to'plam tavtologik chiziq to'plamining.

Algebraik geometriyada giperplane to'plami chiziqli to'plamdir (masalan teskari bob ) ga mos keladi giperplane bo'luvchi

{ displaystyle H = mathbb {P} ^ {n-1} subset mathbb {P} ^ {n}}

kabi berilgan, aytaylik, x₀ = 0, qachon x_menBular bir hil koordinatalar. Buni quyidagicha ko'rish mumkin. Agar D. a (Vayl) bo'luvchi kuni X = Pⁿ, biri mos keladigan satr to'plamini belgilaydi O(D.) ustida X tomonidan

{ displaystyle Gamma (U, O (D)) = {f in K | (f) + D geq 0 { text {on}} U }}

qayerda K ratsional funktsiyalar sohasidir X. Qabul qilish D. bolmoq H, bizda ... bor:

{ displaystyle O (H) simeq O (1), f mapsto fx_ {0}}

qayerda x₀ odatdagidek, burama pog'onaning global qismi sifatida qaraladi O(1). (Darhaqiqat, yuqoridagi izomorfizm Vayl bo'luvchilari va Kartye bo'linuvchilari o'rtasidagi odatiy yozishmalarning bir qismidir.) Va nihoyat, burama dastaning dualligi tavtologik chiziq to'plamiga to'g'ri keladi (pastga qarang).

Algebraik geometriyadagi tautologik chiziq to'plami

Algebraik geometriyada bu tushuncha har qanday sohada mavjud k. Aniq ta'rifi quyidagicha. Ruxsat bering ${ displaystyle A = k [y_ {0}, nuqta, y_ {n}]}$ va ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} = operatorname {Proj} A}$ . E'tibor bering, bizda:

{ displaystyle mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}]) = mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}

qayerda Spec bu nisbiy Spec. Endi qo'ying:

{ displaystyle L = mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] / I)}

qayerda Men global bo'limlar tomonidan yaratilgan ideal shamdir ${ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$ . Keyin L ning yopiq subkema hisoblanadi ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$ bir xil bazaviy sxema bo'yicha ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ ; Bundan tashqari, ning yopiq nuqtalari L aynan o'sha (x, y) ning ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}$ shunday ham x nol yoki ning tasviri x yilda ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ bu y. Shunday qilib, L agar oldin belgilangan bo'lsa, tavtologik chiziq to'plami k haqiqiy yoki murakkab sonlar maydoni.

Qisqacha aytganda, L bo'ladi portlatib affin fazosining kelib chiqishi ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1}}$ , qaerda joylashgan joy x = 0 dyuym L bo'ladi ajoyib bo'luvchi. (Qarang: Xartzorn, Ch. I, 4-§ oxiri.)

Umuman, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} { check {E}})}$ bo'ladi algebraik vektor to'plami mahalliy bepul sheafga mos keladi E cheklangan darajadagi.^[4] Bizda aniq ketma-ketlik mavjud:

{ displaystyle 0 to I to { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] { overset {x_ {i} mapsto y_ {i}} { to}} operatorname {Sym} { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1) to 0,}

tavtologik chiziq to'plami L, yuqorida ta'riflanganidek, ikkilikka to'g'ri keladi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ ning Serrening burama shingil. Amalda ikkala tushuncha ham (tavtologik chiziq to'plami va burama sheaning duali) bir-birining o'rnida ishlatiladi.

Maydonda uning ikki qatorli to'plami ga bog'langan qator to'plamdir giperplane bo'luvchi H, global bo'limlari chiziqli shakllar. Uning Chern sinfi bu -H. Bu anti-anti-misoletarli miqdordagi to'plam. Ustida C, bu manfiy chiziq to'plami deyishga tengdir, ya'ni uning Chern klassi minus standart Kähler shaklidagi de Rham klassidir.

Faktlar

Tavtologik chiziq to'plami γ_{1, k} bu mahalliy ahamiyatsiz lekin emas ahamiyatsiz, uchun k ≥ 1. Bu boshqa sohalarga nisbatan amal qiladi.^{[iqtibos kerak ]}

Aslida, buni ko'rsatish to'g'ri, chunki k = 1, haqiqiy tavtologik chiziq to'plami taniqli to'plamdan boshqa narsa emas umumiy joy bo'ladi Mobius chizig'i. Yuqoridagi faktning to'liq isboti uchun qarang.^[5]

The Picard guruhi qator to'plamlari yoniq ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ bu cheksiz tsiklik, va tavtologik chiziq to'plami generatordir.
Tavtologik to'plam a bo'lgan proektsion bo'shliqda chiziq to'plami, bog'liq teskari bob bo'limlar ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$ , tensor teskari (ya'ni giperplane to'plamining juft vektor to'plami) yoki Serre burama shkaf ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ ; boshqacha qilib aytganda, giperplane to'plami ijobiy darajaga ega bo'lgan Picard guruhining generatoridir (a sifatida bo'luvchi ) va tautologik to'plam esa unga teskari: salbiy darajadagi generator.

Shuningdek qarang

Hopf to'plami
Stifel-Uitni sinfi
Eyler ketma-ketligi
Chern sinfi (Tavtologik to'plamlarning Chern sinflari - cheksiz Grassmannianning kohomologik halqasining algebraik mustaqil generatorlari.)
Borel teoremasi
Bo'sh joy (Tavtologik to'plamlarning Tho bo'shliqlari γ_n kabi n → ∞ ga deyiladi Toms spektri.)
Grassmann to'plami

Adabiyotlar

^ Kompakt bo'lmagan, ammo parakompakt asosda, agar u cheksiz Grassmannian ishlatsa, bu to'g'ri bo'ladi.
^ Adabiyot va darsliklarda ularning ikkalasi ham odatda kanonik generatorlar deb nomlanadi.
^ U beri ochiq G_n(R^n+k) shunday topologiya berilgan
${ displaystyle G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) to operatorname {End} ( mathbb {R} ^ {n + k}), , V mapsto p_ {V} ,}$
qayerda ${ displaystyle p_ {V}}$ ortogonal proyeksiyasidir V, bu tasvirga gomomorfizmdir.
^ Tahririyat eslatmasi: ushbu ta'rif Hartshorndan farq qiladi, chunki u ikkilamchi qabul qilmaydi, lekin standart amaliyotga va Vikipediyaning boshqa qismlariga mos keladi.
^ Milnor − Stasheff, §2. Teorema 2.1.

Manbalar

Atiya, Maykl Frensis (1989), K nazariyasi, Advanced Book Classics (2-nashr), Addison-Uesli, ISBN 978-0-201-09394-0, JANOB 1043170
Griffits, Fillip; Xarris, Jozef (1994), Algebraik geometriya asoslari, Wiley Classics kutubxonasi, Nyu-York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, JANOB 1288523.
Xartshorn, Robin (1977), Algebraik geometriya, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, JANOB 0463157, OCLC 13348052.
[M + S] Jon Milnor va Jim Stasheff, Xarakterli sinflar, Prinston, 1974 yil.
Rubey, Elena (2014), Algebraik geometriya, qisqacha lug'at, Berlin / Boston: Valter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

[1] Kompakt bo'lmagan, ammo parakompakt asosda, agar u cheksiz Grassmannian ishlatsa, bu to'g'ri bo'ladi.

[2] Adabiyot va darsliklarda ularning ikkalasi ham odatda kanonik generatorlar deb nomlanadi.

[3] U beri ochiq G_n(R^n+k) shunday topologiya berilgan
${ displaystyle G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) to operatorname {End} ( mathbb {R} ^ {n + k}), , V mapsto p_ {V} ,}$
qayerda ${ displaystyle p_ {V}}$ ortogonal proyeksiyasidir V, bu tasvirga gomomorfizmdir.

[4] Tahririyat eslatmasi: ushbu ta'rif Hartshorndan farq qiladi, chunki u ikkilamchi qabul qilmaydi, lekin standart amaliyotga va Vikipediyaning boshqa qismlariga mos keladi.

[5] Milnor − Stasheff, §2. Teorema 2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]