Galois kengaytmalarida asosiy ideallarning bo'linishi - Splitting of prime ideals in Galois extensions

Yilda matematika, o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik Galois guruhi G a Galois kengaytmasi L a raqam maydoni Kva yo'l asosiy ideallar P ning butun sonlarning halqasi O_K faktorizm asosiy ideallarning mahsuloti sifatida O_L, ning eng boy qismlaridan birini taqdim etadi algebraik sonlar nazariyasi. The Galois kengaytmalaridagi asosiy ideallarning bo'linishi ba’zan tegishli Devid Xilbert uni chaqirish orqali Hilbert nazariyasi. Geometrik analog mavjud keng tarqalgan qoplamalar ning Riemann sirtlari, bu shunchaki bitta kichik guruhning pastki qismida G ikkitasini emas, balki e'tiborga olish kerak. Bu, albatta, Hilbertdan oldin tanish bo'lgan.

Ta'riflar

Ruxsat bering L/K raqam maydonlarining cheklangan kengaytmasi bo'lib, ruxsat bering O_K va O_L tegishli bo'lishi kerak butun sonlarning halqasi ning K va Lnavbati bilan, ular sifatida belgilangan ajralmas yopilish butun sonlarning Z ko'rib chiqilayotgan sohada.

${ displaystyle { begin {array} {ccc} O_ {K} & hookrightarrow & O_ {L} downarrow && downarrow K & hookrightarrow & L end {array}}}$

Nihoyat, ruxsat bering p nolga teng bo'lmagan asosiy ideal bo'ling O_Kyoki unga teng ravishda, a maksimal ideal, shuning uchun qoldiq O_K/p a maydon.

Bitta asosiy nazariyadano'lchovli uzuklar noyob parchalanish mavjudligini kuzatib boradi

${ displaystyle pO_ {L} = prod _ {j = 1} ^ {g} P_ {j} ^ {e_ {j}}}$

ideal pO_L ichida yaratilgan O_L tomonidan p aniq maksimal ideallar mahsuliga aylanadi P_j, ko'plik bilan e_j.

Maydon F = O_K/p tabiiy ravishda ichiga kiradi F_j = O_L/P_j har bir kishi uchun j, daraja f_j = [O_L/P_j : O_K/p] bu qoldiq maydonini kengaytirish deyiladi inersiya darajasi ning P_j ustida p.

Ko'plik e_j deyiladi ramifikatsiya indeksi ning P_j ustida p. Agar kimdir uchun 1 dan katta bo'lsa j, maydon kengaytmasi L/K deyiladi kengaytirilgan da p (yoki biz buni aytamiz p ichida ishora qiladi Lyoki u ramiflangan L). Aks holda, L/K deyiladi rasmiylashtirilmagan da p. Agar shunday bo'lsa, u holda Xitoyning qolgan teoremasi miqdor O_L/pO_L dalalar mahsulidir F_j. Kengaytma L/K ni ayiruvchi aynan shu tub sonlarda hosil bo'ladi nisbiy diskriminant, shuning uchun kengaytma juda ko'p asosiy ideallarda, ammo ko'pgina sonlarda aniqlanmagan.

Multiplikativligi ideal norma nazarda tutadi

${ displaystyle [L: K] = sum _ {j = 1} ^ {g} e_ {j} f_ {j}.}$

Agar f_j = e_j = Har biri uchun 1 j (va shunday qilib g = [L : K]), biz buni aytamiz p to'liq bo'linadi yilda L. Agar g = 1 va f₁ = 1 (va shunga o'xshash) e₁ = [L : K]), biz buni aytamiz p butunlay tarqaladi yilda L. Nihoyat, agar g = 1 va e₁ = 1 (va shunga o'xshash) f₁ = [L : K]), biz buni aytamiz p bu inert yilda L.

Galoisadagi vaziyat

Quyida, kengaytma L/K deb taxmin qilinadi Galois kengaytmasi. Keyin Galois guruhi ${ displaystyle G = operatorname {Gal} (L / K)}$ vaqtincha harakat qiladi ustida P_j. Ya'ni, ning asosiy ideal omillari p yilda L bitta shakl orbitada ostida avtomorfizmlar ning L ustida K. Bundan va noyob faktorizatsiya teoremasi, bundan kelib chiqadiki f = f_j va e = e_j dan mustaqildirlar j; Galoisga tegishli bo'lmagan kengaytmalar uchun, albatta, kerak bo'lmaydigan narsa. Keyin asosiy munosabatlar o'qildi

${ displaystyle pO_ {L} = chap ( prod _ {j = 1} ^ {g} P_ {j} o'ng) ^ {e}}$.

va

${ displaystyle [L: K] = efg.}$

Yuqoridagi munosabat shuni ko'rsatadiki [L : K]/ef raqamga teng g ning asosiy omillari p yilda O_L. Tomonidan orbita-stabilizator formulasi bu raqam ham | ga tengG|/|D._Pj| har bir kishi uchun j, qayerda D._Pj, parchalanish guruhi ning P_j, ning elementlarning kichik guruhidir G berilganni yuborish P_j o'ziga. Darajasidan beri L/K va tartibi G Galuazaning asosiy nazariyasi bilan tengdir, demak, parchalanish guruhining tartibi D._Pj bu ef har bir kishi uchun j.

Ushbu dekompozitsiya guruhi kichik guruhni o'z ichiga oladi Men_Pj, deb nomlangan inersiya guruhi ning P_j, ning avtomorfizmlaridan iborat L/K identifikator avtomorfizmini keltirib chiqaradigan F_j. Boshqa so'zlar bilan aytganda, Men_Pj kamaytirish xaritasining yadrosidir ${ displaystyle D_ {P_ {j}} to operatorname {Gal} (F_ {j} / F)}$. Ushbu xaritaning sur'ektiv ekanligini ko'rsatish mumkin va bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle operatorname {Gal} (F_ {j} / F)}$ izomorfik D._Pj/Men_Pj va inersiya guruhining tartibi Men_Pj bu e.

Nazariyasi Frobenius elementi elementini aniqlash uchun oldinga boradi D._Pj/Men_Pj berilgan uchun j bu cheklangan maydon kengayishining Galois guruhidagi Frobenius avtomorfizmiga to'g'ri keladi F_j /F. Tasdiqlanmagan holatda D._Pj bu f va Men_Pj ahamiyatsiz. Shuningdek, Frobenius elementi bu holda ning elementidir D._Pj (va shuning uchun ham elementi G).

Geometrik analogda, uchun murakkab manifoldlar yoki algebraik geometriya ustidan algebraik yopiq maydon, tushunchalari parchalanish guruhi va inersiya guruhi mos keladi. U erda Galoisning kengaytirilgan qopqog'i berilgan, faqat ko'p sonli nuqtalardan tashqari barchasi bir xil songa ega oldingi rasmlar.

Galois bo'lmagan kengaytmalardagi tub sonlarning bo'linishini a yordamida o'rganish mumkin bo'linish maydoni dastlab, ya'ni biroz kattaroq bo'lgan Galois kengaytmasi. Masalan, kubik maydonlari odatda ularni o'z ichiga olgan 6-darajali maydon tomonidan "tartibga solinadi".

Misol - Gauss butun sonlari

Ushbu bo'limda maydonni kengaytirishda asosiy ideallarning bo'linishi tasvirlangan Q(i) /Q. Ya'ni, biz olamiz K = Q va L = Q(i), shuning uchun O_K oddiygina Zva O_L = Z[i] ning halqasi Gauss butun sonlari. Garchi bu ish vakillikdan uzoq bo'lsa ham - axir, Z[i] bor noyob faktorizatsiya va noyob faktorizatsiyaga ega kvadratik maydonlar ko'p emas - bu nazariyaning ko'plab xususiyatlarini namoyish etadi.

Yozish G Galois guruhi uchun Q(i) /Q, va σ murakkab konjugatsiya avtomorfizmi uchun G, ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan uchta holat mavjud.

Bosh vazir p = 2

Asosiy 2 Z ichida ishora qiladi Z[i]:

${ displaystyle (2) = (1 + i) ^ {2}}$

Shuning uchun bu erda tarqalish ko'rsatkichi e = 2. Qoldiq maydoni

${ displaystyle O_ {L} / (1 + i) O_ {L}}$

bu ikki elementli cheklangan maydon. Parchalanish guruhi barchasiga teng bo'lishi kerak G, chunki u erda faqat bitta tub son mavjud Z[i] yuqorida 2. Inersiya guruhi ham barchasi G, beri

${ displaystyle a + bi equiv a-bi { bmod {1}} + i}$

har qanday butun sonlar uchun a va b, kabi ${ displaystyle a + bi = 2bi + a-bi = (1 + i) cdot (1-i) bi + a-bi equiv a-bi { bmod {1}} + i}$ .

Aslida, 2 faqat ramziy ma'noga ega Z[i], chunki har bir boshlang'ich darajani ajratish kerak diskriminant ning Z[i], ya'ni −4.

Asoslar p Mod 1 mod 4

Har qanday asosiy narsa p Mod 1 mod 4 bo'linishlar ikkita aniq asosiy idealga Z[i]; bu Ikki kvadratning yig'indisi bo'yicha Ferma teoremasi. Masalan:

${ displaystyle 13 = (2 + 3i) (2-3i)}$

Bu holda parchalanish guruhlari ikkala ahamiyatsiz guruhdir {1}; chindan ham avtomorfizm σ kalitlar ikkala tub son (2 + 3i) va (2 - 3i), shuning uchun u ikkala tubning ajralish guruhida bo'lishi mumkin emas. Parchalanish guruhining kichik guruhi bo'lgan inersiya guruhi ham ahamiyatsiz guruhdir. Ikki qoldiq maydoni mavjud, har bir asosiy uchun bitta,

${ displaystyle O_ {L} / (2 pm 3i) O_ {L} ,}$

ikkalasi ham 13 elementli cheklangan maydon uchun izomorfdir. Frobenius elementi ahamiyatsiz avtomorfizmdir; bu shuni anglatadiki

${ displaystyle (a + bi) ^ {13} equiv a + bi { bmod {2}} pm 3i}$

har qanday butun sonlar uchun a va b.

Asoslar p Mod 3 mod 4

Har qanday asosiy narsa p Mod 3 mod 4 qoladi inert yilda Z[i]; ya'ni shunday qiladi emas Split. Masalan, (7) asosiy bo'lib qoladi Z[i]. Bunday holatda, parchalanish guruhi barchasi G, yana bitta asosiy omil bo'lgani uchun. Biroq, bu holat farq qiladi p = 2 ta holat, chunki hozir $ phi $ qiladi emas qoldiq maydonida ahamiyatsiz harakat qiling

${ displaystyle O_ {L} / (7) O_ {L} ,}$

bu 7 bilan cheklangan maydon² = 49 ta element. Masalan, 1 + i va ph (1 + i) = 1 - i orasidagi farq 2i ni tashkil etadi, bu albatta 7 ga bo'linmaydi, shuning uchun inersiya guruhi trivial guruhdir {1}. Ushbu qoldiq maydonining Galois guruhi pastki maydon ostida Z/7Z 2-tartibga ega va Frobenius elementi tasviri bilan hosil qilingan. Frobenius - bu σ dan boshqa narsa emas; bu shuni anglatadiki

${ displaystyle (a + bi) ^ {7} equiv a-bi { bmod {7}}}$

har qanday butun sonlar uchun a va b.

Xulosa

Boshlang'ich Z	Qanday bo'linadi Z[men]	Atalet guruhi	Parchalanish guruhi
2	Indeks 2 bilan ramzlanadi	G	G
p-1 mod 4	Ikki aniq omilga bo'linadi	1	1
p-3 mod 4	Inert bo'lib qoladi	1	G

Faktorizatsiyani hisoblash

Deylik, biz asosiy idealning omilini aniqlashni xohlaymiz P ning O_K darajalariga O_L. Quyidagi protsedura (Neukirch, 47-bet) ko'p hollarda bu muammoni hal qiladi. Strategiya butun sonni tanlashdir O_L Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida L tugadi K tomonidan by (bunday θ ning mavjud bo'lishi kafolatlanadi ibtidoiy element teoremasi ) va keyin tekshirish uchun minimal polinom H(X) ning ustiga K; bu koeffitsientli monik polinom O_K. Ning koeffitsientlarini kamaytirish H(X) modulo P, biz monik polinomni olamiz h(X) ning koeffitsientlari bilan F, qoldiq maydoni (cheklangan) O_K/P. Aytaylik h(X) polinom halqasidagi faktorizatorlar F[X] kabi

${ displaystyle h (X) = h_ {1} (X) ^ {e_ {1}} cdots h_ {n} (X) ^ {e_ {n}},}$

qaerda h_j aniq monik kamaytirilmaydigan polinomlar F[X]. Keyin, qancha vaqt bo'lsa P nihoyasiga etkazadigan juda ko'p sonli istisnolardan biri emas (aniq shart quyida tavsiflangan) P quyidagi shaklga ega:

${ displaystyle PO_ {L} = Q_ {1} ^ {e_ {1}} cdots Q_ {n} ^ {e_ {n}},}$

qaerda Q_j ning aniq bosh ideallari O_L. Bundan tashqari, har birining inertsiya darajasi Q_j mos polinomning darajasiga teng h_j, va uchun aniq formula mavjud Q_j:

${ displaystyle Q_ {j} = PO_ {L} + h_ {j} ( theta) O_ {L},}$

qayerda h_j bu erda polinomning ko'tarilishini bildiradi h_j ga K[X].

Galois holatida inersiya darajalari hammasi teng bo'lib, tarqalish ko'rsatkichlari e₁ = ... = e_n barchasi teng.

Yuqoridagi natija shart emasligi uchun istisno primeslar nisbatan asosiy emas dirijyor halqa O_K[θ]. Supero'tkazuvchilar ideal deb belgilangan

${ displaystyle {y in O_ {L}: yO_ {L} subseteq O_ {K} [ theta] };}$

bu qanchalik masofani o'lchaydi buyurtma O_K[θ] butun sonlar halqasidan (maksimal tartib) O_L.

Muhim ogohlantirish shundaki, misollar mavjud L/K va P bor yo'q mavjud bo'lgan es yuqoridagi farazlarni qondiradi (masalan, qarang ^[1]). Shuning uchun yuqorida keltirilgan algoritmdan bunday omillarni aniqlash uchun foydalanib bo'lmaydi Pva tavsiflangan kabi yanada murakkab yondashuvlardan foydalanish kerak.^[2]

Misol

Gauss butun sonlari misolini yana ko'rib chiqing. Biz hayoliy birlik bo'lish uchun $ phi $ ni olamiz men, minimal polinom bilan H(X) = X² + 1. beri Z[${ displaystyle i}$] butun sonlarning butun halqasi Q(${ displaystyle i}$), dirijyor - bu birlik ideal, shuning uchun hech qanday oddiy sonlar mavjud emas.

Uchun P = (2), biz dalada ishlashimiz kerak Z/(2)Z, bu polinomni faktorizatsiyalashga teng X² + 1 modul 2:

${ displaystyle X ^ {2} + 1 = (X + 1) ^ {2} { pmod {2}}.}$

Shuning uchun, faqat bitta asosiy omil mavjud, inersiya darajasi 1 va ramifikatsiya ko'rsatkichi 2, va u tomonidan berilgan

${ displaystyle Q = (2) mathbf {Z} [i] + (i + 1) mathbf {Z} [i] = (1 + i) mathbf {Z} [i].}$

Keyingi ish uchun P = (p) asosiy uchun p Mod 3 mod 4. Biz aniqlik uchun olamiz P = (7). Polinom X² + 1 - bu kamaytirilmaydigan modul. Shuning uchun inersiya darajasi 2 va radiatsiya ko'rsatkichi 1 bo'lgan bitta asosiy omil mavjud va u quyidagicha berilgan

${ displaystyle Q = (7) mathbf {Z} [i] + (i ^ {2} +1) mathbf {Z} [i] = 7 mathbf {Z} [i].}$

Oxirgi holat P = (p) asosiy uchun p Mod 1 mod 4; biz yana olamiz P = (13). Bu safar bizda faktorizatsiya mavjud

${ displaystyle X ^ {2} + 1 = (X + 5) (X-5) { pmod {13}}.}$

Shuning uchun, bor ikkitasi asosiy omillar, ham inertsiya darajasi, ham ramifikatsiya ko'rsatkichi bilan 1. Ular tomonidan berilgan

${ displaystyle Q_ {1} = (13) mathbf {Z} [i] + (i + 5) mathbf {Z} [i] = cdots = (2 + 3i) mathbf {Z} [i] }$

va

${ displaystyle Q_ {2} = (13) mathbf {Z} [i] + (i-5) mathbf {Z} [i] = cdots = (2-3i) mathbf {Z} [i] .}$

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Galois kengaytmalari va raqamlar maydonlarida bo'linish va tarqalish". PlanetMath.
• Uilyam Shteyn, Klassik va adelik algebraik sonlar nazariyasiga qisqacha kirish
• Noykirx, Yurgen (1999). Algebraik sonlar nazariyasi. Grundlehren derhematischen Wissenschaften. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. JANOB  1697859. Zbl  0956.11021.