Spinning qattiqligi - Spin stiffness

The spinning qattiqligi yoki spinning qattiqligi yoki helicity moduli yoki "supero'tkazuvchi zichlik"(bosonlar uchun supero'tkazuvchi zichlik spinning qattiqligiga mutanosib) - bu spinlarning tekis tekis burilishining kiritilishi natijasida spin tizimining asosiy holati energiyasining o'zgarishini ifodalovchi doimiy. Bu doimiylikning ahamiyati ning ko'rsatkichi sifatida foydalanishda kvant fazali o'tish - xususan kabi metall izolyatorli o'tishlarga ega modellarda Mott izolyatorlari. Bu boshqalarga ham tegishli topologik invariantlar kabi Berry fazasi va Chern raqamlari kabi Kvant zali effekti.

Matematik jihatdan

Matematik jihatdan uni quyidagi tenglama bilan aniqlash mumkin:

${displaystyle ho _ {s} = {cfrac {kısmi ^ {2}} {qisman heta ^ {2}}} {cfrac {E_ {0} (heta)} {N}} | _ {heta = 0}}$

qayerda ${displaystyle E_ {0}}$ asosiy energiya, ${displaystyle heta}$ burilish burchagi, va N - panjara joylari soni.

Heisenberg modelining spinning qattiqligi

Oddiy Heisenberg spinli Hamiltonian bilan boshlang:

${displaystyle H_ {mathrm {Heisenberg}} = - Jsum _ {} chap [S_ {i} ^ {z} S_ {j} ^ {z} + {cfrac {1} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} + S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+}) kechasi]}$

Endi biz tizimda i burchakdagi burilishni θ burchak bilan kiritamiz_men z o'qi atrofida:

${displaystyle S_ {i} ^ {+} longrightarrow S_ {i} ^ {+} e ^ {i heta _ {i}}}$

${displaystyle S_ {i} ^ {-} uzun o'qli S_ {i} ^ {-} e ^ {- i heta _ {i}}}$

Bularni Heisenberg Hamiltonianga qaytarish:

${displaystyle H (heta _ {ij}) = - Jsum _ {} chap [S_ {i} ^ {z} S_ {j} ^ {z} + {cfrac {1} {2}} ( S_ {i} ^ {+} e ^ {i heta _ {i}} S_ {j} ^ {-} e ^ {- i heta _ {j}} + S_ {i} ^ {-} e ^ {- i heta _ {i}} S_ {j} ^ {+} e ^ {i heta _ {j}}) ight]}$

endi let ga ruxsat bering_ij = θ_men - θ_j va atrofida kengaytiring_ij = 0 a orqali MacLaurin kengayishi faqat order dagi ikkinchi tartibgacha bo'lgan shartlarni saqlash_ij

${displaystyle Happrox H_ {mathrm {Heisenberg}} -Jsum _ {} chap [heta _ {ij} J_ {ij} ^ {(s)} - {cfrac {1} {2}} heta _ {ij} ^ {2} T_ {ij} ^ {(s)} ight]}$

bu erda birinchi had $ phi $ ga bog'liq emas, ikkinchisi $ a $ bezovtalanish kichik for uchun.

${displaystyle J_ {ij} ^ {s} = {cfrac {i} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} - S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+})}$ aylanma oqim operatorining z-komponentidir

${displaystyle T_ {ij} = {cfrac {1} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} + S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+} )}$ "spin kinetik energiya"

Endi bir xil burilishlar holatini ko'rib chiqing, θ_x faqat x o'qi bo'ylab eng yaqin qo'shni aloqalar bo'ylab mavjud bo'lgan, keyin spinning qattiqligi er osti holatidagi energiya farqi bilan bog'liq

${displaystyle E (heta) -E (0) = Nho _ {s} heta _ {x} ^ {2}}$

keyin kichik θ uchun_x va yordamida ikkinchi darajali bezovtalanish nazariyasi biz olamiz:

${displaystyle ho _ {s} = {cfrac {1} {N}} chap [{cfrac {1} {2}} langle T_ {x} angle + sum _ {u eq 0} {cfrac {| langle 0 | j_ {x} ^ {(s)} | u burchak | ^ {2}} {E_ {u} -E_ {0}}} tun]]$

Shuningdek qarang

• Spin to'lqin

Adabiyotlar

• S.E. Krüger; R. Darradi; J. Rixter; D.J.J. Farnell (2006). "Kvadrat-uchburchak va kubikli katakchalarda birlashtirilgan klaster usuli yordamida spinning (1/2) Heisenberg antiferromagnitining spinning qattiqligini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash". Jismoniy sharh B. 73 (9): 094404. arXiv:cond-mat / 0601691. Bibcode:2006PhRvB..73i4404K. doi:10.1103 / PhysRevB.73.094404.
• J. Boncha; J.P.Rodriges; J. Ferrer; K.S. Bedell (1994). "Spin-1/2 Heisenberg modellari uchun spinning qattiqligini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash". Jismoniy sharh B. 50 (5): 3415–3418. arXiv:cond-mat / 9405069. Bibcode:1994PhRvB..50.3415B. doi:10.1103 / PhysRevB.50.3415. PMID  9976600. S2CID  32495059.
• T. Eynarsson; H.J.Shulz (1994). "Jdagi spinning qattiqligini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash₁−J₂ Heisenberg antiferromagnet ". Jismoniy sharh B. 51 (9): 6151–6154. arXiv:cond-mat / 9410090v1. Bibcode:1995PhRvB..51.6151E. doi:10.1103 / PhysRevB.51.6151. PMID  9979543. S2CID  22218061.
• B.S. Shastry; B. Sutherland (1990). "Heisenberg-Ising va Hubbard halqalarida burmalangan chegara shartlari va samarali massa". Jismoniy tekshiruv xatlari. 65 (2): 243–246. Bibcode:1990PhRvL..65..243S. doi:10.1103 / PhysRevLett.65.243. PMID  10042589.
• R.R.P. Singx; D.A. Huse (1989). "Heisenberg antiferromagnetining (1/2) to'rtburchak katakchali uchun spin-qattiqlik konstantasini mikroskopik hisoblash". Jismoniy sharh B. 40 (10): 7247–7251. Bibcode:1989PhRvB..40.7247S. doi:10.1103 / PhysRevB.40.7247. PMID  9991112.
• R. G. Melko, A. V. Sandvik va D. J. Skalapino1 (2004). "Ikki o'lchovli kvantli XY halqa almashinuvi va tashqi maydonga ega model". Jismoniy sharh B. 69 (10): 100408–100412. arXiv:cond-mat / 0311080. Bibcode:2004PhRvB..69j0408M. doi:10.1103 / PhysRevB.69.100408. S2CID  119491422.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)