Lie algebra yarim semestridagi Serres teoremasi - Serres theorem on a semisimple Lie algebra - Wikipedia

Mavhum algebra, xususan Yolg'on algebralar, Serr teoremasi holatlar: berilgan (cheklangan qisqartirilgan) ildiz tizimi ${ displaystyle Phi}$ , cheklangan o'lchovli mavjud yarim semple Lie algebra uning ildiz tizimi berilgan ${ displaystyle Phi}$ .

Bayonot

Teorema quyidagicha bayon qiladi: ildiz tizimi berilgan ${ displaystyle Phi}$ ichki mahsulotga ega bo'lgan evklidlar makonida ${ displaystyle (,)}$ , ${ displaystyle langle beta, alfa rangle = 2 ( alfa, beta) / ( alfa, alfa), beta, alfa in E}$ va tayanch ${ displaystyle { alfa _ {1}, nuqtalar, alfa _ {n} }}$ ning ${ displaystyle Phi}$ , yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (1) bilan belgilanadi ${ displaystyle 3n}$ generatorlar ${ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$ va (2) munosabatlar

{ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}

{ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, , [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i neq j}

,

{ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = langle alfa _ {i}, alfa _ {j} rangle e_ {j}, , [h_ {i}, f_ {j}] = - langle alfa _ {i}, alfa _ {j} rangle f_ {j}}

,

{ displaystyle operator nomi {ad} (e_ {i}) ^ {- langle alfa _ {i}, alfa _ {j} rangle +1} (e_ {j}) = 0, i neq j }

,

{ displaystyle operator nomi {ad} (f_ {i}) ^ {- langle alfa _ {i}, alfa _ {j} rangle +1} (f_ {j}) = 0, i neq j }

.

tomonidan hosil qilingan Cartan subalgebra bilan cheklangan o'lchovli yarim yarim Lie algebra ${ displaystyle h_ {i}}$ va ildiz tizimi bilan ${ displaystyle Phi}$ .

Kvadrat matritsa ${ displaystyle [ langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle] _ {1 leq i, j leq n}}$ deyiladi Kartan matritsasi. Shunday qilib, ushbu tushuncha bilan teorema, karton matritsasini beradi, deb ta'kidlaydi A, noyob (izomorfizmga qadar) cheklangan o'lchovli yarimo'li Lie algebra mavjud ${ displaystyle { mathfrak {g}} (A)}$ bilan bog'liq ${ displaystyle A}$ . Karton matritsasidan yarim yarim Lie algebrasini tuzishni Kartan matritsasi ta'rifini zaiflashtirish orqali umumlashtirish mumkin. A bilan bog'langan (umuman cheksiz o'lchovli) yolg'on algebra umumlashtirilgan karton matritsasi deyiladi a Kac-Moody algebra.

Isbotning eskizi

Bu erda dalil olingan (Kac 1990 yil, Teorema 1.2.) Va (Serre 2000, Ch. VI, ilova.).

Ruxsat bering ${ displaystyle a_ {ij} = langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle}$ va keyin ruxsat bering ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ (1) generatorlar tomonidan yaratilgan Lie algebra bo'ling ${ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$ va (2) munosabatlar:

${ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0}$ ,
${ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}}$ , ${ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i neq j}$ ,
${ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j}}$ .

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ tomonidan kengaytirilgan erkin vektor maydoni bo'ling ${ displaystyle h_ {i}}$ , V asosli erkin vektor maydoni ${ displaystyle v_ {1}, nuqtalar, v_ {n}}$ va ${ textstyle T = bigoplus _ {l = 0} ^ { infty} V ^ { otimes l}}$ ustidagi tensor algebra. Yolg'on algebrasining quyidagi ko'rinishini ko'rib chiqing:

{ displaystyle pi: { widetilde { mathfrak {g}}} to { mathfrak {gl}} (T)}

tomonidan berilgan: uchun ${ displaystyle a in T, h in { mathfrak {h}}, lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}}$ ,

${ displaystyle pi (f_ {i}) a = v_ {i} otimes a,}$
${ displaystyle pi (h) 1 = langle lambda, , h rangle 1, pi (h) (v_ {j} otimes a) = - langle alfa _ {j}, h rangle v_ {j} otimes a + v_ {j} otimes pi (h) a}$ , induktiv,
${ displaystyle pi (e_ {i}) 1 = 0, , pi (e_ {i}) (v_ {j} otimes a) = delta _ {ij} alfa _ {i} (a) + v_ {j} otimes pi (e_ {i}) a}$ , induktiv ravishda.

Bu haqiqatan ham aniq belgilangan vakillik va uni qo'l bilan tekshirish kerakligi ahamiyatsiz emas. Ushbu tasavvurdan biri quyidagi xususiyatlarni chiqaradi: ruxsat bering ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}}$ ) ning subalgebralari ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ tomonidan yaratilgan ${ displaystyle e_ {i}}$ ning (resp ${ displaystyle f_ {i}}$ ).

${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}}$ ) - tomonidan yaratilgan bepul Lie algebra ${ displaystyle e_ {i}}$ ning (resp ${ displaystyle f_ {i}}$ ).
Vektorli bo'shliq sifatida, ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} = { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+} bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus { widetilde { mathfrak {n} }} _ {-}}$ .
${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+} = bigoplus _ {0 neq alpha in Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha }}$ qayerda ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} = {x in { widetilde { mathfrak {g}}} | | h, x] = alfa (h) x, h in { mathfrak {h}} }}$ va shunga o'xshash, ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-} = bigoplus _ {0 neq alpha in Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ {- alfa}}$ .
(ildiz bo'shlig'ining parchalanishi) ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} = left ( bigoplus _ {0 neq alpha in Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ {- alpha } o'ng) bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus left ( bigoplus _ {0 neq alpha in Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} o'ng)}$ .

Har bir ideal uchun ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ ning ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ , buni osongina ko'rsatish mumkin ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ ildizlarning parchalanishi bilan berilgan darajaga nisbatan bir hil; ya'ni, ${ displaystyle { mathfrak {i}} = bigoplus _ { alpha} ({ widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} cap { mathfrak {i}})}$ . Bundan kelib chiqadiki, ideallar yig'indisi kesishgan ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ ahamiyatsiz, u o'zi kesib o'tadi ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ ahamiyatsiz. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ kesishgan barcha ideallarning yig'indisi bo'ling ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ ahamiyatsiz. Keyin vektor kosmik dekompozitsiyasi mavjud: ${ displaystyle { mathfrak {r}} = ({ mathfrak {r}} cap { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}) oplus ({ mathfrak {r}} cap { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+})}$ . Aslida, bu a ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ -modulning parchalanishi. Ruxsat bering

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { widetilde { mathfrak {g}}} / { mathfrak {r}}}

.

Keyin uning nusxasi mavjud ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ bilan aniqlangan ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ va

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {n}} _ {+} bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus { mathfrak {n}} _ {-}}

qayerda ${ displaystyle { mathfrak {n}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { mathfrak {n}} _ {-}}$ ) tasvirlari tomonidan hosil qilingan subalgebralardir ${ displaystyle e_ {i}}$ ning tasvirlari ${ displaystyle f_ {i}}$ ).

Ulardan biri quyidagilarni ko'rsatadi: (1) olingan algebra ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}$ bu erda xuddi shunday ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ etakchida, (2) u cheklangan o'lchovli va yarim oddiy va (3) ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}] = { mathfrak {g}}}$ .

Adabiyotlar

Kac, Viktor (1990). Cheksiz o'lchovli yolg'on algebralari (3-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-46693-8.
Hamfreyz, Jeyms E. (1972). Yolg'on algebralari va vakillik nazariyasiga kirish. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
Serre, Jan-Per (2000). Algèbres de Lie yarim sodda komplekslar [Murakkab Semisimple Lie Algebras]. Jons, G. A. Springer tomonidan tarjima qilingan. ISBN 978-3-540-67827-4.

Bu algebra bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.