Rado-Kneser-Choket teoremasi - Radó–Kneser–Choquet theorem

Yilda matematika, Rado-Kneser-Choket teoremasinomi bilan nomlangan Tibor Rado, Hellmuth Kneser va Gustave Choquet, deb ta'kidlaydi Poisson integral gomeomorfizmining birlik doirasi a harmonik ochiq diffeomorfizm birlik disk. Natijada Rado tomonidan muammo deb aytilgan va ko'p o'tmay 1926 yilda Kneser tomonidan hal qilingan. Rado va Kneserning ishidan bexabar bo'lgan Choquet, natijani boshqa dalil bilan 1945 yilda qayta kashf etdi. Choket ham natijani a ning Puasson integraliga umumlashtirdi. gomeomorfizm birlik doirasidan oddiy Iordaniya egri chizig'iga, qavariq mintaqani chegaralaydi.

Bayonot

Ruxsat bering f yo'nalish saqlovchi gomomorfizm bo'linmasi doirasi |z| = 1 dyuym C ning Puasson integralini aniqlang f tomonidan

${ displaystyle displaystyle {F_ {f} (re ^ {i theta}) = {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} f ( varphi) cdot {1- r ^ {2} 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , d varphi,}}$

uchun r <1. Puasson integralining standart xossalari shuni ko'rsatadiki F_f a harmonik funktsiya ustida |z| Davomiyligi bo'yicha kengaytirilgan <1 f ustida |z| = 1. Qo'shimcha faraz bilan f bu doiraning yo'naltirilganligini saqlaydigan gomomorfizmi, F_f ochiq birlik diskining diffeomorfizmini saqlaydigan yo'nalishdir.

Isbot

Buni isbotlash uchun F_f mahalliy yo'nalishni saqlovchi diffeomorfizm bo'lib, yakobianning bir nuqtada ekanligini ko'rsatish kifoya a birlik diskida ijobiy. Ushbu Jacobian tomonidan berilgan

${ displaystyle displaystyle {J_ {f} (a) = | qismli _ {z} F_ {f} (a) | ^ {2} - | kısalt _ { overline {z}} F_ {f} ( a) | ^ {2}.}}$

Boshqa tomondan g bu birlik doirasini va birlik diskini saqlaydigan Mobius konversiyasidir,

${ displaystyle displaystyle {F_ {f circ g} = F_ {f} circ g.}}$

Qabul qilish g Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida g(a) = 0 va ζ = o'zgaruvchining o'zgarishini oladi g(z), zanjir qoidasi beradi

${ displaystyle displaystyle {(F_ {f} circ g) _ {z} = [(F_ {f}) _ { zeta} circ g] cdot g_ {z}, , , (F_ { f} circ g) _ { overline {z}} = [(F_ {f}) _ { overline { zeta}} circ g] cdot { overline {g_ {z}}}.}}$

Bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle displaystyle {J_ {f circ g} (a) = J_ {f} (0) cdot | g_ {z} (a) | ^ {2}.}}$

Shuning uchun qachon Jacobianning ijobiyligini isbotlash kifoya a = 0. U holda

${ displaystyle displaystyle {J_ {f} (0) = | a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2},}}$

qaerda a_n ning Fourier koeffitsientlari f:

${ displaystyle displaystyle {a_ {n} = {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} f (e ^ {i theta}) e ^ {- in theta} , d theta.}}$

Keyingi Douady & Earle (1986), 0 ga teng bo'lgan Jacobian ikki tomonlama integral sifatida ifodalanishi mumkin

${ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 over 4 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} Re [f (e ^ {i theta}) { overline {f (e ^ {i varphi})}} (e ^ {i ( theta - varphi)} - e ^ {- i ( theta - varphi)})] , d theta , d varphi.}}$

Yozish

${ displaystyle displaystyle {f (e ^ {i theta}) = e ^ {ih ( theta)},}}$

qayerda h qoniqtiradigan muttasil ortib boruvchi doimiy funktsiyadir

${ displaystyle displaystyle {h ( theta +2 pi) = h ( theta) +2 pi},}$

er-xotin integralni quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 over 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} sin ( theta - varphi) sin (h ( theta) -h ( varphi)) , d theta , d varphi = {1 over 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} sin ( theta) sin (h ( theta +) varphi) -h ( varphi)) , d theta , d varphi.}}$

Shuning uchun

${ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 over 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ { pi} sin theta int _ {0} ^ { pi} R ( theta, varphi) , d varphi , d theta,}}$

qayerda

${ displaystyle R ( theta, varphi) = sin (h ( varphi + theta) -h ( varphi)) + sin (h ( varphi + 2 pi) -h ( varphi + teta + pi)) + sin (h ( varphi + theta + pi) -h ( varphi + pi)) + sin (h ( varphi + pi) -h ( varphi + teta)).}$

Ushbu formula beradi R 2π yig'indisi bo'lgan to'rtta salbiy bo'lmagan burchaklarning sinuslari yig'indisi kabi, har doim ham manfiy emas.^[1] Ammo keyin 0 da Jacobian qat'iy ijobiy va F_f shuning uchun mahalliy darajada diffeomorfizmdir.

Xulosa qilish kerak F_f gomomorfizmdir. Davomiylik bilan uning tasviri ixcham, shu qadar yopiq. Yakobianning yo'q bo'lib ketmasligi shuni anglatadi F_f bu birlik diskdagi ochiq xaritalashdir, shuning uchun ochiq diskning tasviri ochiq bo'ladi. Shuning uchun yopiq diskning tasviri yopiq diskning ochiq va yopiq kichik qismidir. Ulanish orqali u butun disk bo'lishi kerak. | Uchunw| <1, ning teskari tasviri w yopiq, shu qadar ixcham va to'liq ochiq diskda joylashgan. Beri F_f mahalliy sifatida gomomorfizmdir, u cheklangan to'plam bo'lishi kerak. Ballar to'plami w aniq diskda n oldindan tasvirlar ochiq. Ulanish orqali har bir nuqta bir xil raqamga ega N oldindan tasvirlar. Ochiq disk bo'lgani uchun oddiygina ulangan, N = 1. Aslida kelib chiqishning har qanday oldindan tasvirini oladigan bo'lsak, har bir radiusli chiziq oldingi tasvirga qadar o'ziga xos ko'tarilishga ega va shu sababli birlik diskning gomomorfik ravishda xaritasi ochiq diskka bo'linmasi mavjud. Agar N > 1 bo'lsa, uning to'ldiruvchisi ham ochiq bo'lishi kerak, bu esa ulanishga zid keladi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Kneser, Hellmut (1926), "Lösung der Aufgabe 41" (PDF), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 35: 123–124
• Choquet, Gustav (1945), "Sur un type de transformation analytique généralisant la représentation conforme et définie au moyen de fonctions harmonique", Buqa. Ilmiy ish. Matematika., 69: 156–165
• Douadi, Adrien; Earl, Clifford J. (1986), "Doira gomomorfizmlarining konformal ravishda tabiiy kengayishi", Acta matematikasi., 157: 23–48, doi:10.1007 / bf02392590
• Duren, Piter (2004), Samolyotda harmonik xaritalar, Matematikada Kembrij traktlari, 156, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-64121-7
• Sheil-Small, T. (1985), Furye seriyasida cheklangan tasvirlangan qavariq egri chiziq va X.S.Shapironing gumoni, Matematik. Proc. Kembrij falsafasi. Soc., 98, 513-527 betlar