Kvantli LC davri - Quantum LC circuit

Ushbu maqola haqiqat aniqligi bahsli. Tegishli munozarani munozara sahifasi. Iltimos, bahsli bayonotlar mavjudligini ta'minlashga yordam bering ishonchli manbalar. (2010 yil aprel) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

LC davri kvantasini xuddi shu usullar yordamida aniqlash mumkin kvantli harmonik osilator. An LC davri turli xil rezonansli zanjir va an dan iborat induktor, L harfi va a bilan ifodalangan kondansatör, S harfi bilan ifodalangan, bir-biriga ulanganda, an elektr toki kontaktlarning zanglashiga olib o'zgarishi mumkin rezonans chastotasi:

${ displaystyle omega = { sqrt {1 over LC}}}$

qayerda L bo'ladi induktivlik yilda gilos va C bo'ladi sig'im yilda faradlar. The burchak chastotasi ${ displaystyle omega ,}$ ning birliklariga ega radianlar soniyada Kondensator energiyani plitalar orasidagi elektr maydonida to'playdi, bu quyidagicha yozilishi mumkin:

${ displaystyle U_ {C} = { frac {1} {2}} CV ^ {2} = { frac {Q ^ {2}} {2C}}}$

Bu erda Q - deb hisoblangan kondansatördeki aniq zaryad

${ displaystyle Q (t) = int _ {- infty} ^ {t} I ( tau) d tau}$

Xuddi shu tarzda, induktor magnit maydonda energiyani oqimga qarab saqlaydi va uni quyidagicha yozish mumkin:

${ displaystyle U_ {L} = { frac {1} {2}} LI ^ {2} = { frac { phi ^ {2}} {2L}}}$

Qaerda ${ displaystyle phi}$ sifatida belgilangan filial oqimi

${ displaystyle phi (t) equiv int _ {- infty} ^ {t} V ( tau) d tau}$

Zaryad va oqim mavjud bo'lganligi sababli o'zgaruvchan o'zgaruvchilar, foydalanish mumkin kanonik kvantlash aniqlash orqali kvant formalizmida klassik hamiltoniyani qayta yozish

${ displaystyle phi rightarrow { hat { phi}}}$

${ displaystyle q rightarrow { hat {q}}}$

${ displaystyle H rightarrow { hat {H}} = { frac {{ hat { phi}} ^ {2}} {2L}} + { frac {{ hat {q}} ^ {2 }} {2C}}}$

va kanonik kommutatsiya munosabatlarini amalga oshirish

${ displaystyle left [{ hat { phi}}, { hat {q}} right] = i hbar}$

Bir o'lchovli harmonik osilator

Gemilton va energetik davlatlar

Birinchi sakkizta bog'langan o'z davlatlari uchun to'lqin funktsiyalari, n = 0 dan 7. Gorizontal o'qda pozitsiya ko'rsatilgan x. Grafiklar normallashtirilmagan

Ehtimollarning zichligi |ψ_n(x)|² asosiy davlatdan boshlangan bog'langan o'z davlatlari uchun (n = 0) pastki qismida va energiya yuqoriga qarab ortib boradi. Landshaft o'qi pozitsiyani ko'rsatadi xva yorqin ranglar katta ehtimollik zichligini anglatadi.

Bir o'lchovli harmonik osilator muammosi singari, LC zanjiri ham Shredinger tenglamasini echish, yoki yaratish va yo'q qilish operatorlari yordamida miqdorini aniqlash mumkin. Induktorda saqlanadigan energiyaga "kinetik energiya atamasi", kondensatorda saqlanadigan energiyaga "potentsial energiya atamasi" sifatida qarash mumkin.

Bunday tizimning Gamiltoniani:

${ displaystyle H = { frac { phi ^ {2}} {2L}} + { frac {1} {2}} L omega ^ {2} Q ^ {2}}$

bu erda Q - zaryadlash operatori va ${ displaystyle phi}$ magnit oqim operatori. Birinchi had induktorda saqlanadigan energiyani, ikkinchi muddat esa kondansatörda saqlanadigan energiyani anglatadi. Energiya sathlarini va tegishli energetik davlatlarni topish uchun vaqtga bog'liq bo'lmagan Shredinger tenglamasini echishimiz kerak,

${ displaystyle H | psi rangle = E | psi rangle }$

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2L}} nabla ^ {2} psi + { frac {1} {2}} L omega ^ {2} Q ^ {2} psi}$

LC davri, albatta, harmonik osilatorning elektr analogi bo'lgani uchun, Shredinger tenglamasini echishda echimlar oilasi (Hermit polinomlari) hosil bo'ladi.

${ displaystyle left langle Q | psi _ {n} right rangle = { sqrt { frac {1} {2 ^ {n} , n!}}} cdot left ({ frac {L omega} { pi hbar}} o'ng) ^ {1/4} cdot exp chap (- { frac {L omega Q ^ {2}} {2 hbar}} o'ng ) cdot H_ {n} chap ({ sqrt { frac {L omega} { hbar}}} Q o'ng)}$

${ displaystyle n = 0,1,2, ldots}$

Magnit oqimi konjugat o'zgaruvchisi sifatida

Magnit oqim yordamida konjugat o'zgaruvchisi sifatida to'liq ekvivalent echim topish mumkin, bu erda konjugat "momentum" magnit oqimning vaqt hosilasi sig'imiga teng. Konjugat "impuls" haqiqatan ham zaryaddir.

${ displaystyle pi = C { frac {d phi} {dt}}}$

Kirchhoffning birikma qoidasidan foydalanib, quyidagi munosabatlarni olish mumkin:

${ displaystyle C { frac {dV} {dt}} + { frac {1} {L}} int _ {0} ^ {t} V , dt , = 0}$

Beri ${ displaystyle V = { frac {d phi} {dt}}}$, yuqoridagi tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

${ displaystyle C { frac {d ^ {2} phi} {dt ^ {2}}} + { frac {1} {L}} phi , = 0}$

Buni Gamiltonianga aylantirib, Shredinger tenglamasini quyidagicha ishlab chiqish mumkin:

${ displaystyle i hbar { frac {d psi} {dt}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2C}} nabla ^ {2} psi + { frac { phi ^ {2}} {2L}} psi}$ qayerda ${ displaystyle psi}$ magnit oqimining funktsiyasi

Birlashtirilgan LC davrlarini kvantlash

Ikkita induktiv bog'langan LC zanjiri nolga teng bo'lmagan o'zaro indüktansga ega. Bu kinetik birikish muddati bo'lgan bir juft harmonik osilatorga teng.

LC davrlarining induktiv bog'langan juftligi uchun Lagrangian quyidagicha:

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} L_ {1} { frac {dQ_ {1}} {dt}} ^ {2} + { frac {1} {2}} L_ {2 } { frac {dQ_ {2}} {dt}} ^ {2} + m { frac {dQ_ {1}} {dt}} { frac {dQ_ {2}} {dt}} - { frac {Q_ {1} ^ {2}} {2C_ {1}}} - { frac {Q_ {2} ^ {2}} {2C_ {2}}}}$

Odatdagidek, Gamiltonian Lagrangianning Legendre o'zgarishi bilan olinadi.

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} L_ {1} { frac {dQ_ {1}} {dt}} ^ {2} + { frac {1} {2}} L_ {2 } { frac {dQ_ {2}} {dt}} ^ {2} + m { frac {dQ_ {1}} {dt}} { frac {dQ_ {2}} {dt}} + { frac {Q_ {1} ^ {2}} {2C_ {1}}} + { frac {Q_ {2} ^ {2}} {2C_ {2}}}}$

Kuzatiladigan narsalarni kvant mexanik operatorlariga etkazish quyidagi Shredinger tenglamasini beradi.

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2L_ {1}}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {1} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ {2}} {2L_ {2}}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {2} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ { 2}} {m}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {1} dQ_ {2}}} + { frac {1} {2}} L_ {1} omega ^ {2 } Q_ {1} ^ {2} psi + { frac {1} {2}} L_ {2} omega ^ {2} Q_ {2} ^ {2} psi}$

Birlashtirilgan muddat tufayli yuqoridagi koordinatalardan foydalangan holda ko'proq harakat qilish mumkin emas. Shu bilan birga, ikkala zaryadning funktsiyasi sifatida to'lqin funktsiyasidan zaryad farqi funktsiyasi sifatida koordinatali o'zgarish ${ displaystyle Q_ {d}}$, qayerda ${ displaystyle Q_ {d} = Q_ {1} -Q_ {2}}$ va koordinata ${ displaystyle Q_ {c}}$("Mass-Center" ga o'xshash), yuqoridagi Hamiltonianni "O'zgaruvchilarni ajratish" usuli yordamida hal qilish mumkin.

CM koordinatasi quyida ko'rinib turganidek:

${ displaystyle Q_ {c} = { frac {L_ {1} Q_ {1} + L_ {2} Q_ {2}} {L_ {1} + L_ {2}}}}$

Hamiltonian yangi koordinata tizimi bo'yicha quyidagicha:

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 (L_ {1} + L_ {2})}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {c} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 mu}} { frac {d ^ {2} psi} { dQ_ {d} ^ {2}}} + { frac {1} {2}} mu omega ^ {2} Q_ {d} ^ {2} psi}$

Yuqoridagi tenglamada ${ displaystyle lambda}$ ga teng ${ displaystyle { frac {2m} {L_ {1} + L_ {2}}}}$ va ${ displaystyle mu}$ kamaytirilgan induktivlikka teng.

O'zgaruvchilarni ajratish texnikasi ikkita tenglamani beradi, ulardan biri "CM" koordinatasi, bu erkin zarrachaning differentsial tenglamasi, ikkinchisi esa harmonik osilator uchun Shredinger tenglamasi.

${ displaystyle E psi _ {c} = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 (L_ {1} + L_ {2})}} { frac {d ^ {2} psi _ {c}} {dQ_ {c} ^ {2}}}}$

${ displaystyle E psi _ {d} = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 mu}} { frac {d ^ {2} psi _ {d} } {dQ_ {d} ^ {2}}} + { frac {1} {2}} mu omega ^ {2} Q_ {d} ^ {2} psi _ {d}}$

Vaqtga bog'liqlik qo'shilganidan keyin birinchi differentsial tenglama uchun yechim tekislik to'lqininga o'xshaydi, ikkinchi differentsial tenglamaning yechimi yuqorida ko'rsatilgan.

Hamilton mexanikasi

Klassik ish

Klassik LC davri uchun saqlanadigan energiya (Hamiltonian):

${ displaystyle { mathcal {H}} = { frac {q ^ {2} (t)} {2C}} + { frac {p ^ {2} (t)} {2L}} }$

Hamiltonianning tenglamalari:

${ displaystyle { frac { kısalt { mathcal {H}} (q, p)} { qisman q}} = { frac {q (t)} {C}} = - { dot {p} } (t) }$

${ displaystyle { frac { kısalt { mathcal {H}} (q, p)} { qismli p}} = { frac {p (t)} {L}} = - { nuqta {q} } (t) }$,

qayerda ${ displaystyle q (t) = Cv (t) }$ saqlangan kondansatör zaryadi (yoki elektr oqimi) va ${ displaystyle p (t) = Li (t) }$ magnit momentum (magnit oqim),${ displaystyle v (t) - }$ kondansatör kuchlanishi va ${ displaystyle i (t) - }$ indüktans oqimi, ${ displaystyle t- }$ vaqt o'zgaruvchisi.

Nolga teng bo'lmagan dastlabki shartlar: At ${ displaystyle q (0), p (0) }$ biz tebranish chastotasiga ega bo'lamiz:

${ displaystyle omega = { frac {1} { sqrt {LC}}} }$,

va LC zanjirining to'lqin empedansi (tarqalmasdan):

${ displaystyle rho = { sqrt { frac {L} {C}}} }$

Hamiltonianning tenglamalar echimlari: At ${ displaystyle t geq 0 }$ biz zaryadlar, magnit oqim va energiyaning quyidagi qiymatlariga ega bo'lamiz:

${ displaystyle mathbf {q} = q (0) + j { frac {p (0)} { omega L}} }$

${ displaystyle$

${ displaystyle p (t) = Im [ omega L mathbf {q} e ^ {- j omega t}] }$

${ displaystyle { mathcal {H}} = { frac {| mathbf {q} | ^ {2}} {2C}} = doimiy }$

Phasor ta'rifi

Umumiy holatda to'lqin amplitudalarini murakkab fazoda aniqlash mumkin

${ displaystyle a (t) = a_ {1} (t) + ja_ {2} (t) }$

qayerda ${ displaystyle j = { sqrt {-1}} }$.

${ displaystyle a_ {1} (t) = { frac {q (t)} {q (0)}} }$,

qayerda ${ displaystyle q (0) = D (0) S_ {C} = { sqrt { frac {2 hbar} { rho}}} }$ - nol vaqtidagi elektr zaryad, ${ displaystyle S_ {C} - }$ sig'im maydoni.

${ displaystyle a_ {2} (t) = { frac {p (t)} {p (0)}} }$,

qayerda ${ displaystyle p (0) = { sqrt {2 hbar rho}} }$ - nol vaqtda magnit oqimi,${ displaystyle S_ {L} - }$ indüktans maydoni, shuni ta'kidlangki, teng maydon elementlarida

${ displaystyle S_ {C} = S_ {L} = S_ {q} }$

biz to'lqin impedansi uchun quyidagi munosabatlarga ega bo'lamiz:

${ displaystyle rho = { sqrt { frac {L} {C}}} = { frac {q (0)} {p (0)}}}$.

To'lqin amplitudasi va energiyasini quyidagicha aniqlash mumkin:

${ displaystyle a (t) = ae ^ {- j omega t} }$

${ displaystyle { mathcal {H}} = hbar omega [a_ {1} ^ {2} (t) + a_ {2} ^ {2} (t)] = hbar omega | a | ^ { 2} }$.

Kvant ishi

Kvant holatida biz momentum operatori uchun quyidagi ta'rifga egamiz:

${ displaystyle { hat {p}} = - j hbar { frac { qismli} { qisman q}}}$

Momentum va zaryad operatorlari quyidagi kommutatorni ishlab chiqaradilar:

${ displaystyle [{ hat {q}}, { hat {p}}] = j hbar }$.

Amplitudali operator quyidagicha ta'riflanishi mumkin:

${ displaystyle { hat {a}} = { hat {a_ {1}}} + j { hat {a_ {2}}} = { frac { hat {q}} {q_ {0}} } + j { frac { hat {p}} {p_ {0}}} }$,

va fazor:

${ displaystyle { hat {a (t)}} = { hat {a}} e ^ {- j omega t} }$.

Xemiltonning operatori:

${ displaystyle { hat { mathcal {H}}} hbar omega [{ hat {a}} _ {1} ^ {2} (t) + { hat {a}} _ {2} ^ {2} (t)] = hbar omega [{ hat {a}} { hat {a}} ^ { xanjar} +1/2] }$

Amplitudalar kommutatorlari:

${ displaystyle [{ hat {a}} _ {1} (t), { hat {a}} _ {2} (t)] = j / 2 }$

${ displaystyle [{ hat {a}} (t), { hat {a}} ^ { xanjar} (t)] = 1 }$.

Heisenberg noaniqlik printsipi:

${ displaystyle langle Delta { hat {a}} _ {1} ^ {2} (t) rangle langle Delta { hat {a}} _ {2} ^ {2} (t) rangle geq { frac {1} {16}} }$.

Bo'sh joyning to'lqin empedansi

Qachon LC kvantining to'lqin empedansi bo'sh joy qiymatini oladi

${ displaystyle rho _ {0} = { sqrt { frac {L_ {0}} {C_ {0}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = 2 alfa { frac {h} {e ^ {2}}} = 2 alfa R_ {H}}$,

qayerda ${ displaystyle e- }$ elektron zaryadi, ${ displaystyle alfa - }$ nozik tuzilish doimiy va ${ displaystyle R_ {H} - }$ fon Klitzing doimiysi u holda "elektr" va "magnit" oqimlari nol vaqt nuqtasida bo'ladi:

${ displaystyle q_ {0} = { sqrt { frac {2 hbar} { rho _ {0}}}} = { frac {e} { sqrt {2 pi alpha}}} }$

${ displaystyle p_ {0} = { sqrt {2 hbar rho _ {0}}} = phi _ {0} { sqrt { frac {2 alpha} { pi}}} }$,

qayerda ${ displaystyle phi _ {0} = { frac {h} {e}} - }$ magnit oqimi kvanti.

Kvantli LC elektron paradoksi

Umumiy shakllantirish

Klassik holatda LC davri energiyasi quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle W_ {LC} = W_ {C} + W_ {L}, }$

qayerda ${ displaystyle W_ {C} = 0.5CV_ {C} ^ {2} - }$ quvvat hajmi va${ displaystyle W_ {L} = 0.5LI_ {L} ^ {2} - }$ indüktans energiyasi. Bundan tashqari, zaryadlar (elektr yoki magnit) va kuchlanish yoki oqim o'rtasida quyidagi munosabatlar mavjud:

${ displaystyle Q_ {C} = CV_ {C} }$

${ displaystyle Phi _ {L} = LI_ {L}. }$

Shuning uchun sig'im va indüktans energiyalarining maksimal qiymatlari quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle W_ {max} = W_ {LC} = { frac {Q_ {C0} ^ {2}} {2C}} + { frac { Phi _ {L0} ^ {2}} {2L}} .}$

Rezonans chastotasini unutmang ${ displaystyle omega _ {0} = 1 / { sqrt {LC}} }$ klassik holatda energiya bilan hech qanday aloqasi yo'q. Ammo u kvant holatida energiya bilan quyidagi aloqaga ega:

${ displaystyle W_ {0} = { frac { hbar omega _ {0}} {2}} = { frac { hbar} {2 { sqrt {LC}}}}. }$

Shunday qilib, kvant holda, sig'imni bitta elektron zaryad bilan to'ldirish orqali:

${ displaystyle Q_ {C0} = e = CV_ {C} }$ va ${ displaystyle W_ {C} = { frac {e ^ {2}} {2C}}. }$

Sig'im energiyasi va asosiy holat osilator energiyasi o'rtasidagi bog'liqlik quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle xi _ {C} = { frac {W_ {C}} {W_ {0}}} = { frac {2 pi} {R_ {H}}} { sqrt { frac {L } {C}}} = 2 pi cdot { frac { rho _ {q}} {R_ {H}}}. }$

qayerda ${ displaystyle rho _ {q} = { sqrt {L / C}} }$ LC zanjirining kvant impedansi. LC elektronining kvant impedansi amalda ikki xil bo'lishi mumkin^{[tushuntirish kerak ]}:

${ displaystyle rho _ {q} = { sqrt { frac {L} {C}}} = { begin {case} rho _ {w} = 2 alfa R_ {H}, & { mbox {- to'lqin impedansi}} rho _ {DOS} = R_ {H}, & { mbox {- DOS impedansi}} end {case}}}$

Shunday qilib, energiya aloqalari quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle xi _ {C} = { frac {W_ {C}} {W_ {0}}} = 2 pi { frac { rho _ {q}} {R_ {H}}} = { begin {case} 4 pi alpha, & { mbox {at}} rho _ {w} 2 pi, & { mbox {at}} rho _ {DOS} end {case} }}$

va bu LC kvantining asosiy muammosi: sig'im va indüktansda saqlanadigan energiya kvant osilatorining asosiy holatiga teng emasUshbu energiya muammosi kvant LC elektron paradoksini (QLCCP) ishlab chiqaradi.^{[iqtibos kerak ]}

Mumkin bo'lgan echim

QLCCP ning oddiy echimini quyidagi usulda topish mumkin. Yakymaxa (1989) ^[1](eqn.30) quyidagi DOS kvant impedans ta'rifini taklif qildi:

${ displaystyle rho _ {DOS} ^ {ij} = { frac { Delta Phi _ {j}} { Delta Q_ {i}}} = { frac {i} {j}} R_ {H }, }$

qayerda ${ displaystyle Delta Phi _ {j} = j Phi _ {0} - }$ magnit oqimi va${ displaystyle Delta Q_ {i} = ya'ni- }$ elektr oqimi, ${ displaystyle i, j = tamsayı.}$

Shunday qilib, LC kvant zanjirida elektr yoki magnit zaryadlar mavjud emas, faqat elektr va magnit oqimlar mavjud. Shuning uchun nafaqat DOS LC zanjirida, balki boshqa LC zanjirlarida ham faqat elektromagnit to'lqinlar mavjud, shuning uchun kvant LC zanjiri kvant to'lqin qo'llanmasining minimal geometrik-topologik qiymati bo'lib, unda elektr yo'q yoki magnit zaryadlar, lekin faqat elektromagnit to'lqinlar. Endi kvant LC zanjirini "qora to'lqin qutisi" (BWB) deb hisoblash kerak, unda elektr yoki magnit zaryadlar yo'q, lekin to'lqinlar. Bundan tashqari, bu BWB "yopiq" bo'lishi mumkin (Borda) atom yoki fotonlar uchun vakuumda) yoki "ochiq" (QHE va Jozefson birikmasida bo'lgani kabi) .Shuning uchun LC kvantli sxemasi BWB va "kirish - chiqish" qo'shimchalariga ega bo'lishi kerak. Umumiy energiya balansini "kirish" va "chiqish" moslamalarini hisobga olgan holda hisoblash kerak. "Kirish - chiqish" moslamalari bo'lmagan holda, sig'im va induktivalarda "saqlanadigan" energiya, xarakterli impedans holatida bo'lgani kabi, virtual yoki "xarakteristikalar" dir Hozirgi kunda ushbu yondashuvga juda yaqin Devoret (2004),^[2] Jozefsonning birikmalarini kvant indüktans bilan, Shredinger to'lqinlarining Datta impedansi (2008) va Tsu (2008) bilan ko'rib chiqadigan,^[3] kvant to'lqinlari qo'llanmalarini ko'rib chiqadigan.

DOS kvant LC davri uchun tushuntirish

Quyida keltirilganidek, QHE uchun rezonans chastotasi:

${ displaystyle omega _ {Q} = { sqrt { frac {1} {L_ {QA} C_ {QA}}}} = { frac { omega _ {B}} {2 pi}}, }$

qayerda ${ displaystyle omega _ {B} = eB / m- }$siklotron chastotasi,${ displaystyle L_ {QA} = { frac {4 pi R_ {H}} { omega _ {B}}} }$ va${ displaystyle C_ {QA} = { frac {4 pi} {R_ {H} omega _ {B}}}. }$QHE uchun o'lchov oqimi quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle I_ {B} = { frac {e omega _ {B}} {4 pi}}. }$

Shuning uchun indüktans energiyasi:

${ displaystyle W_ {L} = { frac {L_ {QA} I_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac { hbar omega _ {B}} {4}}. }$

Shunday qilib kvant magnit oqimi uchun ${ displaystyle Phi _ {0} = h / e }$, induktivlik energiyasi asosiy holat tebranish energiyasidan yarmiga teng. Bu elektronning aylanishi bilan bog'liq (bir xil kvant maydoni elementida Landau darajasida ikkita elektron mavjud). Shuning uchun indüktans / sig'im energiyasi bir spin uchun Landau darajasining umumiy energiyasini hisobga oladi.

LC "to'lqinli" kvant sxemasi uchun tushuntirish

DOS LC sxemasiga o'xshashlik bilan bizda mavjud

${ displaystyle W_ {0} = { frac {1} {2}} cdot { frac {W_ {C}} {2 pi alpha}} = { frac { gamma _ {BY} W_ { C}} {2}} }$

Spin tufayli ikki baravar kam qiymat. Ammo bu erda yangi o'lchovsiz asosiy doimiy mavjud:

${ displaystyle gamma _ {BY} = { frac {1} {2 pi alpha}} }$

bu kvant LC zanjirining topologik xususiyatlarini ko'rib chiqadi. Ushbu asosiy doimiy Bor radiusida Bor atomida paydo bo'ldi:

${ displaystyle a_ {B} = gamma _ {BY} cdot lambda _ {0}, }$

qayerda ${ displaystyle lambda _ {0} = h / m_ {0} c- }$ Elektronning kompton to'lqin uzunligi.

Shunday qilib, LC to'lqin kvantining zanjirida hech qanday zaryad yo'q, faqat elektromagnit to'lqinlar mavjud. Shunday qilib, sig'im yoki indüktans "xarakterli energiya" dir${ displaystyle gamma _ {BY} - }$osilatorning umumiy energiyasidan baravar kam. Boshqacha qilib aytganda, zaryadlar "kirish" da "yo'qoladi" va muvozanatni saqlash uchun energiya qo'shib, to'lqin LC zanjirining "chiqishida" "hosil qiladi".

LC kvantining umumiy energiyasi

Kvant sig'imida saqlanadigan energiya:

${ displaystyle W_ {C} = { frac {Q_ {C} ^ {2}} {2C}} = 2 pi alfa W_ {LC}. }$

Kvant indüktansında saqlanadigan energiya:

${ displaystyle W_ {L} = { frac { Phi _ {L} ^ {2}} {2L}} = 2 pi alfa W_ {LC}. }$

LC kvantining rezonans energiyasi:

${ displaystyle W_ {LC} = hbar omega _ {LC} = { frac { hbar} { sqrt {LC}}}. }$

Shunday qilib, LC kvantining umumiy energiyasi quyidagicha bo'lishi kerak:

${ displaystyle W_ {tot} = W_ {LC} + W_ {C} + W_ {L}. }$

Umumiy holda, rezonans energiyasi ${ displaystyle W_ {LC} }$ elektronning "tinchlik massasi", Bor atomining energiya bo'shlig'i va boshqalar bilan bog'liq bo'lishi mumkin, ammo quvvat sig'imda saqlanadi ${ displaystyle W_ {C} }$ elektr zaryadiga bog'liq. Aslida, erkin elektron va Bohr atomlari LC zanjirlari uchun biz elektron zaryadga teng miqdordagi elektr oqimlarini,${ displaystyle e }$.

Bundan tashqari, induktivada saqlanadigan energiya ${ displaystyle W_ {L} }$ magnit impulsga bog'liq. Darhaqiqat, Bor atomi uchun bizda Bor Magneton mavjud:

${ displaystyle mu _ {B} = { frac {e hbar} {2m_ {0}}} = 0.5e nu _ {B} S_ {B} = { frac {ea_ {B} ^ {2 }} { sqrt {L_ {B} C_ {B}}}}. }$

Erkin elektron bo'lsa, Bor Magneton quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle mu _ {e} = 0.5e nu _ {e} S_ {e} = 0.5e { frac {m_ {0} c ^ {2}} {h}} { frac { lambda _ {0} ^ {2}} {2 pi}} = { frac {e hbar} {2m_ {0}}}, }$

Bor atomiga o'xshab.

Ilovalar

Elektron LC davri sifatida

Elektron sig'imi sharsimon kondensator sifatida taqdim etilishi mumkin:

${ displaystyle C_ {e} = { frac {4 pi epsilon _ {0}} {{ frac {1} {r_ {e}}} - { frac {1} {r_ {e} + lambda _ {0}}}}} = { frac { epsilon _ {0} lambda _ {0}} {2 pi}}, }$

qayerda ${ displaystyle r_ {e} = { frac { lambda _ {0}} {2 { sqrt {2}} pi}} - }$ elektron radiusi va ${ displaystyle lambda _ {0} - }$Kompton to'lqin uzunligi.

Ushbu elektron radiusi spinning standart ta'rifiga mos kelishini unutmang. Aslida elektronning aylanadigan impulsi:

${ displaystyle l_ {e} = m_ {0} omega _ {e} r_ {e} ^ {2} = hbar / 2, }$

qayerda ${ displaystyle omega _ {e} = m_ {0} c ^ {2} / hbar }$ ko'rib chiqiladi.

Elektronning sferik induktivligi:

${ displaystyle L_ {e} = { frac { mu _ {0} lambda _ {0}} {2 pi}}. }$

Elektronning o'ziga xos empedansi:

${ displaystyle rho _ {e} = { sqrt { frac {L_ {e}} {C_ {e}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0} = 2 alfa R_ {H}. }$

Elektron LC zanjirining rezonans chastotasi:

${ displaystyle omega _ {e} = { sqrt { frac {1} {L_ {e} C_ {e}}}} = { frac {2 pi c} { lambda _ {0}}} = { frac {m_ {0} c ^ {2}} { hbar}}. }$

Elektron sig'imiga bog'liq bo'lgan elektr oqimi:

${ displaystyle Q_ {e} = C_ {e} V_ {e}. }$

Elektron sig'imida saqlanadigan energiya:

${ displaystyle W_ {Ce} = { frac {C_ {e} V_ {e} ^ {2}} {2}} = { frac {Q_ {e} ^ {2}} {2C_ {e}}} = 2 pi alfa W_ {0}, }$

qayerda ${ displaystyle W_ {0} = m_ {0} c ^ {2} - }$ elektronning "tinchlanish energiyasi" dir. Shunday qilib, induktsiya qilingan elektr oqimi:

${ displaystyle Q_ {e} = { sqrt {2 alfa m_ {0} c ^ {2} epsilon _ {0} lambda _ {0}}} = e. }$

Shunday qilib, elektron sig'imi orqali biz elektron zaryadiga teng miqdordagi elektr oqimini aniqladik.

İndüktans orqali magnit oqimi:

${ displaystyle Phi _ {e} = L_ {e} I_ {e}. }$

Induktivada saqlanadigan magnit energiya:

${ displaystyle W_ {Le} = { frac {L_ {e} I_ {e} ^ {2}} {2}} = { frac { Phi _ {e} ^ {2}} {2L_ {e} }} = 2 pi alfa W_ {0}. }$

Shunday qilib, induktsiya qilingan magnit oqim quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle Phi _ {e} = { sqrt {2 mu _ {0} hc alpha}} = 2 alpha Phi _ {0}. }$

qayerda ${ displaystyle Phi _ {0} = h / e- }$ magnit oqimi kvanti. Shunday qilib, elektron indüktansi orqali magnit oqimning kvantizatsiyasi bo'lmaydi.

Bor atomi LC davri sifatida

Bor radiusi:

${ displaystyle a_ {B} = { frac { lambda _ {0}} {2 pi alpha}} }$

qayerda ${ displaystyle lambda _ {0} = { frac {h} {m_ {0} c}} - }$ Komptonning elektron to'lqin uzunligi,${ displaystyle alfa - }$ nozik tuzilish doimiy.

Bor atom yuzasi:

${ displaystyle S_ {B} = 4 pi a_ {B} ^ {2} }$.

Bor induktivligi:

${ displaystyle L_ {B} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {B} }$.

Bor sig'imi:

${ displaystyle C_ {B} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {B} }$.

Bor to'lqinining impedansi:

${ displaystyle rho _ {B} = { sqrt { frac {L_ {B}} {C_ {B}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0}. }$

Bor burchak chastotasi:

${ displaystyle omega _ {B} = { sqrt { frac {1} {L_ {B} C_ {B}}}} = { frac { alpha ^ {2}} {2}} cdot { frac {m_ {0} c ^ {2}} { hbar}} = { frac {2 pi c} { lambda _ {B}}}, }$

qayerda ${ displaystyle lambda _ {B} = { frac {4 pi a_ {B}} { alfa}} - }$ Bohr birinchi energiya darajasi uchun to'lqin uzunligi.

Borning birinchi energiya darajasining induksiyalangan elektr oqimi:

${ displaystyle Q_ {B} = C_ {B} V_ {B}. }$

Bor sig'imida saqlanadigan energiya:

${ displaystyle W_ {C} B = { frac {C_ {B} V_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac {Q_ {B} ^ {2}} {2C_ {B}} } = 2 pi alfa W_ {B}, }$

qayerda ${ displaystyle W_ {B} = hbar omega _ {B} - }$ Bor energiyasidir. Shunday qilib, induktsiya qilingan elektr oqimi:

${ displaystyle Q_ {B} = { sqrt {2 pi alpha ^ {3} m_ {0} c ^ {2} C_ {B}}} = e. }$

Shunday qilib, Bor sig'imi orqali biz elektron zaryadga teng miqdordagi elektr oqimini aniqladik.

Bor induktivligi orqali magnit oqimi:

${ displaystyle W_ {L} B = { frac {L_ {B} I_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac { Phi _ {B} ^ {2}} {2L_ {B }}} = 2 pi alfa W_ {0}. }$

Shunday qilib, induktsiya qilingan magnit oqim quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle Phi _ {B} = { frac { pi alpha ^ {2} ec} { lambda _ {0}}} L_ {B} = 2 alpha Phi _ {0}. }$

Shunday qilib, Bor induktivligi orqali magnit oqimning kvantlanishi bo'lmaydi.

Foton LC davri sifatida

Foton "rezonansli burchak chastotasi":

${ displaystyle omega _ {w} = { sqrt { frac {1} {L_ {w} C_ {w}}}}. }$

Foton "to'lqin impedansi":

${ displaystyle rho _ {w} = { sqrt { frac {L_ {w}} {C_ {w}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0}. }$

Foton "to'lqin induktivligi":

${ displaystyle L_ {w} = { frac { rho _ {0}} { omega _ {w}}}. }$

Foton "to'lqin sig'imi":

${ displaystyle C_ {w} = { frac {1} { rho _ {0} omega _ {w}}}. }$

Foton "magnit oqim kvanti":

${ displaystyle phi _ {w} = L_ {w} I_ {w} = phi _ {0} = { frac {h} {e}}. }$

Foton "to'lqin oqimi":

${ displaystyle I_ {w} = { frac {h} {eL_ {w}}} = { frac {e omega _ {w}} {2 alfa}}. }$

LC davri sifatida kvant zali ta'siri

Umumiy holatda 2D - qattiq holatda holat (DOS) zichligi quyidagicha aniqlanishi mumkin:

${ displaystyle D_ {2D} = { frac {m ^ {*}} { pi hbar ^ {2}}} }$,

qayerda ${ displaystyle m ^ {*} = xi m_ {0} - }$ oqim massasi qattiq massada samarali massa, ${ displaystyle m_ {0} - }$ elektron massasi va ${ displaystyle xi - }$ qattiq jismning tasma tuzilishini hisobga oladigan o'lchovsiz parametr. Shunday qilib, kvant indüktansını quyidagicha aniqlash mumkin:

${ displaystyle L_ {QL} = phi _ {0} ^ {2} cdot D_ {2D} = xi cdot L_ {Q0}}$,

qayerda ${ displaystyle L_ {Q0} 8 pi beta cdot L_ {QY} }$ - at kvant indüktansının '' ideal qiymati '' ${ displaystyle xi = 1 }$ va yana bir ideal kvant indüktans:

${ displaystyle L_ {QY} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} = H / m ^ {2} }$, (3)

qayerda ${ displaystyle mu _ {0} - }$ magnit doimiy,${ displaystyle beta = { frac {1} {4 alfa}} - }$ magnit "doimiy tuzilish"^[4](62-bet), ${ displaystyle alfa - }$ nozik tuzilish doimiy va ${ displaystyle lambda _ {0} - }$ Kompton to'lqin uzunligi birinchi bo'lib Yakymaxa tomonidan aniqlangan elektron (1994)^[5] kremniy MOSFETlarning spektroskopik tekshiruvlarida.

Yuqorida tavsiflangan kvant indüktans har bir birlik uchun to'g'ri keladi, shuning uchun uning mutlaq qiymati QHE rejimida bo'ladi:

${ displaystyle L_ {QA} = { frac {L_ {QL}} {n_ {B}}} }$,

bu erda tashuvchining kontsentratsiyasi:

${ displaystyle n_ {B} = { frac {eB} {h}} }$,

va ${ displaystyle h- }$ Plank doimiysi, shunga o'xshash tarzda kvant sig'imning mutlaq qiymati QHE rejimida bo'ladi:

${ displaystyle C_ {QA} = { frac {C_ {QL}} {n_ {B}}} }$,

qayerda

${ displaystyle C_ {QL} = e ^ {2} cdot D_ {2D} = xi cdot C_ {Q0}}$,

Luryi bo'yicha kvant sig'imining DOS ta'rifi,^[6] ${ displaystyle C_ {Q0} = 8 pi alpha cdot C_ {QY} }$ - kvant sig'imi '' ideal qiymat '' at ${ displaystyle xi = 1 }$va boshqa kvant sig'imi:

${ displaystyle C_ {QY} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} = 3.6492417F / m ^ {2} }$,

qayerda ${ displaystyle epsilon _ {0} - }$ dielektrik doimiyligi, birinchi Yakymaxa tomonidan aniqlangan (1994)^[5] > MOSFET kremniyining spektroskopik tekshiruvlarida QHE LC zanjiri uchun standart to'lqin impedans ta'rifi quyidagicha taqdim etilishi mumkin:

${ displaystyle rho _ {Q} = { sqrt { frac {L_ {QA}} {C_ {QA}}}} = { sqrt { frac { phi _ {0} ^ {2}} { e ^ {2}}}} = { frac {h} {e ^ {2}}} = R_ {H} }$,

qayerda ${ displaystyle R_ {H} = { frac {h} {e ^ {2}}} = 25.812813k Omega }$ qarshilik uchun fon Klitzing doimiysi.

QHE LC davri uchun standart rezonans chastotaning ta'rifi quyidagicha taqdim etilishi mumkin:

${ displaystyle omega _ {Q} = { frac {1} { sqrt {L_ {QA} C_ {QA}}}} = { frac { hbar omega _ {c}} { phi _ { 0} e}} = { frac { omega _ {c}} {2 pi}}}$,

qayerda ${ displaystyle omega _ {c} = { frac {eB} {m ^ {*}}} - }$ magnit maydonidagi standart siklotron chastotasi.

Zalni miqyosi hozirgi kvant bo'ladi

${ displaystyle I_ {H} = { frac {h} {eL_ {QA}}} = { frac {e omega _ {B}} {4 pi}} }$,

qayerda ${ displaystyle omega _ {B} = { frac {eB} {m ^ {*}}} - }$ Zalning burchak chastotasi.

Jozefson birikmasi LC davri sifatida

Elektromagnit induksiya (Faradey) qonuni:

${ displaystyle V_ {ind} = { frac { qismli Phi} { qismli t}} = - L { frac { qisman I} { qismli t}}, }$

qayerda ${ displaystyle Phi - }$ magnit oqimi, ${ displaystyle L- }$ Jozefson birikmasi kvant induktivligi va${ displaystyle I- }$ Jozefsonning o'tish oqimi. DC uchun Jozefson tenglamasi:

${ displaystyle I = I_ {J} cdot sin phi, }$

qayerda ${ displaystyle I_ {J} - }$ Jozefson o'lchovi,${ displaystyle phi - }$ Supero'tkazuvchilar orasidagi o'zgarishlar farqi. Vaqt o'zgaruvchisidagi joriy hosilasi quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle { frac { qismli I} { qismli t}} = I_ {J} cos phi cdot { frac { qismli phi} { qismli t}}. }$

AC Jozefson tenglamasi:

${ displaystyle { frac { qismli phi} { qismli t}} = { frac {q} { hbar}} V = { frac {2 pi} { Phi _ {0}}} V , }$

qayerda ${ displaystyle hbar - }$ kamaytirilgan Plank doimiysi, ${ displaystyle Phi _ {0} = h / 2e-}$ Jozefson magnit oqimi kvanti,${ displaystyle q = 2e }$ va ${ displaystyle e- }$ hosilalari uchun tenglamalarni birlashtirib, kuchlanish kuchi hosil bo'ladi:

${ displaystyle V = { frac { Phi _ {0}} {2 pi I_ {J}}} cdot { frac {1} { cos phi}} cdot { frac { qism I } { kısmi t}} = L_ {J} cdot { frac { qism I} { qisman t}}, }$

qayerda

${ displaystyle L_ {J} = { frac { Phi _ {0}} {2 pi I_ {J}}} cdot { frac {1} { cos phi}} }$

Devoret (1997) ^[7] kvant induktivligi.

Burchak chastotasi uchun AC Josephson tenglamasi:

${ displaystyle omega _ {J} = { frac {q} { hbar}} cdot V. }$

Josephson LC davri uchun rezonans chastotasi:

${ displaystyle omega _ {J} = { sqrt { frac {1} {L_ {J} C_ {J}}}}. }$

qayerda ${ displaystyle C_ {J} - }$ Devoret kvant sig'imi, uni quyidagicha aniqlash mumkin:

${ displaystyle C_ {J} = { frac {1} {L_ {J} omega _ {J} ^ {2}}} = { frac { Phi _ {0} I_ {J}} {V_ { 0} ^ {2}}} cdot { frac { cos phi} {2 pi}}. }$

Jozefson kavşağının kvant to'lqin empedansı:

${ displaystyle rho _ {J} = { sqrt { frac {L_ {J}} {C_ {J}}}} = { frac {V_ {0}} {I_ {J}}} cdot { frac {1} { sqrt { cos phi}}}. }$

Uchun ${ displaystyle V_ {0} = 0,1}$mV va ${ displaystyle I_ {J} = 0,2 mu}$To'lqin impedansi bo'ladi ${ displaystyle rho _ {J} = 500 Omega. }$

Yassi Atom LC davri sifatida

Kvant sig'imi Yassi atom (FA):

${ displaystyle C_ {F0} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {F0} = 5.1805 cdot 10 ^ {- 7} }$ F,

qayerda ${ displaystyle lambda _ {0} = { frac {h} {m_ {0} c}} }$.

FA ning kvant induktivligi:

${ displaystyle L_ {F0} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {F0} = 7.3524 cdot 10 ^ {- 2} }$ H.

FA ning kvant maydoni elementi:

${ displaystyle S_ {F0} = { frac { lambda _ {0} c} { omega _ {F0}}} = { frac {h} {m_ {0} omega _ {F0}}} = 1.4196 cdot 10 ^ {- 7} }$ m².

FA rezonans chastotasi:

${ displaystyle omega _ {F0} = { sqrt { frac {1} {L_ {F0} C_ {F0}}}} = 5123.9 }$ rad / s.

FAning o'ziga xos empedansi:

${ displaystyle rho _ {F0} = { sqrt { frac {L_ {F0}} {C_ {F0}}}} = rho _ {0} = 2 alfa R_ {H}, }$

qayerda ${ displaystyle rho _ {0} }$ bo'ladi bo'sh joyning empedansi.

FAning birinchi energiya darajasidagi umumiy elektr zaryadi:

${ displaystyle Q_ {F1} = e { sqrt { frac {S_ {F0}} {S_ {B}}}} = 2 cdot 10 ^ {6} e }$,

qayerda ${ displaystyle S_ {B} = 4 pi a_ {B} ^ {2} - }$ Bor kvant maydoni elementi. Birinchi FA Yakymaxa tomonidan kashf etilgan (1994) ^[5] MOSFET p kanalidagi juda past chastotali rezonans sifatida. Bor shar atomidan farqli o'laroq, FA energiya darajasi (n) soniga giperbolik bog'liqlikka ega. ^[8]

${ displaystyle omega _ {F0n} = { frac { omega _ {F0}} {n}}. }$

Shuningdek qarang

• LC davri
• Harmonik osilator
• Kvantli harmonik osilator
• Kvant elektromagnit rezonatori

Adabiyotlar

Manbalar

• W. H. Louisell, "Radiatsiyaning kvant statistik xususiyatlari" (Vili, Nyu-York, 1973)
• Mishel X.Devoret. Elektr zanjiridagi kvant tebranishi.PDF
• Fan Xong Yi, Pan Syao-yin. Chin.Fiz.Lett. No9 (1998) 625.PDF
• Xu, Xing-Ley; Li, Xong-Tsi; Vang, issiqlik qo'zg'alish holatida o'zaro sig'im indüktans kuplajı bo'lgan mezoskopik sönümlü ikki tomonlama rezonanslı RLC zanjirining Ji-Suo kvant dalgalanmaları. Xitoy fizikasi, 16-jild, 8-son, 2462–2470-betlar (2007).[1]
• Xong-Tsi Li, Xing-Ley Syu va Dji-Suo Vang. Mezoskopik kvarts piezoelektrik kristall uchun termal vakuum holatidagi oqim va kuchlanishning kvant tebranishlari. [2]
• Boris Ya. Zel'dovich. Osilatorlarning impedansi va parametrik qo'zg'alishi. UFN, 2008 y., 178-son, № 5 PDF