Davrni ikki baravar oshirish - Period-doubling bifurcation

Yilda matematika, a bifurkatsiya davri ikki baravar ko'payishi alohida dinamik tizim a ikkiga bo'linish unda a-da biroz o'zgarish parametr tizim tenglamalaridagi qiymat tizimning yangi xatti-harakatga ikki baravar ko'payishiga olib keladi davr original tizim. Ikki barobar ko'p bo'lgan davrda bu ikki baravar ko'p vaqtni oladi takrorlash avvalgi kabi tizim tomonidan tashrif buyuradigan raqamli qiymatlar takrorlanishi uchun.

A davr ikki baravar ko'payadi parametr takrorlanadigan va takrorlanadigan tarzda takrorlanadigan davrning ikki barobar ko'payishi va keyingi juftliklarining ketma-ketligi.

Davrni ikki baravar ko'paytirish bifurkatsiyalar doimiy dinamika tizimlarida, ya'ni yangi bo'lganda ham sodir bo'lishi mumkin chegara davri mavjud chegara siklidan chiqadi va yangi chegara siklining davri eskisidan ikki baravar ko'p.

Misollar

Logistik xarita

Bifurkatsiya diagrammasi logistika xaritasi uchun. Bu jalb qiluvchi qadriyatlar, kabi ${displaystyle x _ {*}}$ va ${displaystyle x '_ {*}}$, parametrning funktsiyasi sifatida ${displaystyle r}$.

Quyidagi oddiy dinamikani ko'rib chiqing: ${displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}$ qayerda ${displaystyle x_ {n}}$, qiymati ${displaystyle x}$ vaqtida ${displaystyle n}$, yotadi ${displaystyle [0,1]}$ vaqt oralig'ida va parametrga muvofiq o'zgaradi ${displaystyle rin (0,4]}$.Bu klassik misol. Ning soddalashtirilgan versiyasidir logistika xaritasi.

Uchun ${displaystyle r}$ 1 dan 3 gacha, ${displaystyle x_ {n}}$ barqaror sobit nuqtaga yaqinlashadi ${displaystyle x _ {*} = (r-1) / r}$. Keyin, uchun ${displaystyle r}$ 3 dan 3.44949 gacha,${displaystyle x_ {n}}$ ikki qiymat orasidagi doimiy tebranishga yaqinlashadi ${displaystyle x _ {*}}$ va ${displaystyle x '_ {*}}$ bu bog'liq ${displaystyle r}$. Sifatida ${displaystyle r}$ kattalashib boradi, 4 qiymat orasidagi tebranishlar, keyin 8, 16, 32 va boshqalar paydo bo'ladi. Ushbu davr-ikkilanishlar avjiga chiqadi ${displaystyle rapprox 3.56995}$ undan murakkab rejimlar paydo bo'ladigan joydan. Sifatida ${displaystyle r}$ ortadi, ba'zi boshlang'ich qiymatlar bir yoki bir nechta barqaror tebranishlarga yaqinlashadigan ba'zi bir intervallar mavjud, masalan yaqin ${displaystyle r = 3.83}$. Shaklga qarang.

Davr bo'lgan oraliqda ${displaystyle 2 ^ {n}}$ ba'zi bir musbat tamsayı uchun ${displaystyle n}$, aslida barcha nuqtalarning davri yo'q ${displaystyle 2 ^ {n}}$. Bu intervalgacha emas, balki bitta nuqta. Ushbu nuqtalar beqaror orbitalarda deyiladi, chunki yaqin nuqtalar ular orbitasiga yaqinlashmaydi. Qarang Sharkovskiy teoremasi.

O'zgartirilgan Fillips egri chizig'ining logistik xaritasi

O'zgartirilgan Fillips egri chizig'i uchun bifurkatsiya diagrammasi.

O'zgartirilganlar uchun quyidagi logistik xaritani ko'rib chiqing Fillips egri chizig'i:

${displaystyle pi _ {t} = f (u_ {t}) + bpi _ {t} ^ {e}}$

${displaystyle pi _ {t + 1} = pi _ {t} ^ {e} + c (pi _ {t} -pi _ {t} ^ {e})}$

${displaystyle f (u) = eta _ {1} + eta _ {2} e ^ {- u},}$

${displaystyle b> 0,0leq cleq 1, {frac {df} {du}} <0}$

qaerda:

• ${displaystyle pi}$ haqiqiydir inflyatsiya
• ${displaystyle pi ^ {e}}$ kutilayotgan inflyatsiya,
• u - ishsizlik darajasi,
• ${displaystyle m-pi}$ bo'ladi pul ta'minoti o'sish sur'ati.

Saqlash ${displaystyle eta _ {1} = - 2.5, eta _ {2} = 20, c = 0.75}$ va har xil ${displaystyle b}$, tizim ikki barobar ko'payadigan bifurkatsiyalarni boshdan kechiradi va bir nuqtadan keyin tartibsiz, o'ngdagi bifurkatsiya diagrammasida ko'rsatilganidek.

Murakkab kvadratik xarita

Uchun 1 dan 2 gacha bo'lgan davrda bifurkatsiya murakkab kvadratik xarita

Mandelbrot to'plamini eksponent xaritalashda davrni ikki baravar oshirish

Vaqtni yarmiga bo'linadigan bifurkatsiya

Tartibga olib keladigan davri yarmiga bo'linadigan bifurkatsiyalar (L), so'ngra xaosga olib keladigan ikki baravar ko'paygan bifurkatsiyalar (R).

A bifurkatsiyani yarimga qisqartirish dinamik tizimda a ikkiga bo'linish unda tizim dastlabki tizimning yarim davri bilan yangi xatti-harakatga o'tadi. Bir qator davrni ikkiga bo'luvchi bifurkatsiyalar tizimni olib keladi tartibsizlik Buyurtma qilish.

Shuningdek qarang

• Feygenbaum doimiylari

Adabiyotlar

• Kuznetsov, Yuriy A. (2004). Amaliy bifurkatsiya nazariyasining elementlari. Amaliy matematika fanlari. 112 (3-nashr). Springer-Verlag. ISBN  0-387-21906-4. Zbl  1082.37002.

Tashqi havolalar

• Davrni ikki baravar oshiradigan kaskadlarni betartiblikka bog'lash