Qisman lotin - Partial derivative - Wikipedia

Yilda matematika, a qisman lotin a bir nechta o'zgaruvchining funktsiyasi bu uning lotin ushbu o'zgaruvchilardan biriga nisbatan, boshqalari esa doimiy bo'lib (aksincha jami hosila, unda barcha o'zgaruvchilar o'zgarishi mumkin). Qisman lotinlar ishlatiladi vektor hisobi va differentsial geometriya.

Funksiyaning qisman hosilasi ${ displaystyle f (x, y, dots)}$ o'zgaruvchiga nisbatan ${ displaystyle x}$ bilan har xil belgilanadi

${ displaystyle f '_ {x}, f_ {x}, qismli _ {x} f, D_ {x} f, D_ {1} f, { frac { qismli} { qisman x}} f , { text {or}} { frac { qismli f} { qisman x}}.}$

Ba'zan, uchun ${ displaystyle z = f (x, y, ldots),}$ ning qisman hosilasi ${ displaystyle z}$ munosabat bilan ${ displaystyle x}$ deb belgilanadi ${ displaystyle { tfrac { kısalt z} { qisman x}}.}$ Qisman lotin odatda asl funktsiya bilan bir xil dalillarga ega bo'lganligi sababli, uning funktsional bog'liqligi ba'zida yozuvlar bilan aniq ifodalanadi, masalan:

${ displaystyle f_ {x} (x, y, ldots), { frac { qismli f} { qisman x}} (x, y, ldots).}$

Qisman hosilalarni belgilash uchun ishlatiladigan belgi ∂. Ushbu belgining matematikada ma'lum bo'lgan birinchi ishlatilishlaridan biri bu Markiz de Kondorset 1770 yildan boshlab, kim uni qisman farqlar uchun ishlatgan. Zamonaviy qisman lotin yozuvlari tomonidan yaratilgan Adrien-Mari Legendre (1786) (garchi keyinchalik uni tark etgan bo'lsa ham, Karl Gustav Yakob Jakobi ramzni 1841 yilda qayta tiklagan).^[1]

Kirish

Aytaylik f bir nechta o'zgaruvchidan iborat funktsiya. Masalan; misol uchun,

${ displaystyle z = f (x, y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Ning grafigi z = x² + xy + y². At qisman hosilasi uchun (1, 1) bu barglar y doimiy, mos keladigan teginish chiziqqa parallel xz- samolyot.

Funktsiyasini ko'rsatuvchi yuqoridagi grafika bo'lagi xz- samolyot y = 1. E'tibor bering, bu erda ikkita eksa turli xil tarozilar bilan ko'rsatilgan. Tangens chiziqning qiyaligi 3 ga teng.

The grafik ushbu funktsiyani a belgilaydi sirt yilda Evklid fazosi. Ushbu yuzaning har bir nuqtasida cheksiz son mavjud chiziqli chiziqlar. Qisman differentsiatsiya - bu satrlardan birini tanlash va uni topish harakati Nishab. Odatda, eng ko'p qiziqqan chiziqlar parallel chiziqlardir ${ displaystyle xz}$-plane va ularga parallel bo'lganlar ${ displaystyle yz}$- samolyot (bu ham ushlab turishdan kelib chiqadi) ${ displaystyle y}$ yoki ${ displaystyle x}$ doimiy ravishda).

Funksiyasiga teguvchi chiziqning qiyaligini topish uchun ${ displaystyle P (1,1)}$ va ga parallel ${ displaystyle xz}$- samolyot, biz davolaymiz ${ displaystyle y}$ doimiy sifatida. Grafik va ushbu tekislik o'ng tomonda ko'rsatilgan. Quyida biz funksiyaning tekislikka qanday qarashini ko'ramiz ${ displaystyle y = 1}$ . Topib lotin deb hisoblagan holda tenglamaning ${ displaystyle y}$ ning doimiyligi, ning qiyaligini topamiz ${ displaystyle f}$ nuqtada ${ displaystyle (x, y)}$ bu:

${ displaystyle { frac { qismli z} { qismli x}} = 2x + y.}$

Shunday qilib ${ displaystyle (1,1)}$, almashtirish bilan nishab 3 ga teng.

${ displaystyle { frac { kısalt z} { qismli x}} = 3}$

nuqtada ${ displaystyle (1,1)}$. Ya'ni, ning qisman hosilasi ${ displaystyle z}$ munosabat bilan ${ displaystyle x}$ da ${ displaystyle (1,1)}$ grafada ko'rsatilganidek, 3 ga teng.

Ta'rif

Asosiy ta'rif

Funktsiya f boshqa o'zgaruvchilar tomonidan indekslangan bitta o'zgaruvchining funktsiyalar oilasi sifatida qayta talqin qilinishi mumkin:

${ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Boshqacha qilib aytganda, ning har bir qiymati y belgilangan funktsiyani belgilaydi f_y , bu bitta o'zgaruvchining funktsiyasi x.^[a] Anavi,

${ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Ushbu bo'limda pastki yozuvlar yozuvi f_y ning belgilangan qiymatiga bog'liq bo'lgan funktsiyani bildiradi yva qisman lotin emas.

Bir marta qiymati y tanlangan, aytaylik a, keyin f(x,y) funktsiyani belgilaydi f_a egri chiziqni izlar x² + bolta + a² ustida ${ displaystyle xz}$samolyot:

${ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}$

Ushbu iborada, a a doimiy, a o'zgaruvchan, shuning uchun f_a faqat bitta haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi, ya'ni x. Binobarin, bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun hosilaning ta'rifi qo'llaniladi:

${ displaystyle f_ {a} '(x) = 2x + a.}$

Yuqoridagi protsedura har qanday tanlov uchun amalga oshirilishi mumkin a. Hosilalarni funktsiyaga birlashtirish, ning o'zgarishini tavsiflovchi funktsiyani beradi f ichida x yo'nalish:

${ displaystyle { frac { qismli f} { qismli x}} (x, y) = 2x + y.}$

Bu ning qisman hosilasi f munosabat bilan x. Bu erda $ d $ yaxlitlangan d qisman hosila belgisi deb nomlangan. Buni xatdan farqlash uchun d, ∂ ba'zan "qisman" deb talaffuz qilinadi.

Umuman, an ning qisman hosilasi n-ary funktsiya f(x₁, ..., x_n) yo'nalishda x_men nuqtada (a₁, ..., a_n) quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle { frac { kısmi f} { qismli x_ {i}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = lim _ {h dan 0} { frac {f ( a_ {1}, ldots, a_ {i} + h, ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, ldots, a_ {i}, nuqtalar, a_ {n})} {h }}.}$

Yuqoridagi farqlar doirasidagi barcha o'zgaruvchilar bundan mustasno x_men qat'iy belgilangan. Belgilangan qiymatlarni tanlash bitta o'zgaruvchining funktsiyasini belgilaydi

${ displaystyle f_ {a_ {1}, ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}),}$

va ta'rifi bo'yicha,

${ displaystyle { frac {df_ {a_ {1}, ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = { frac { qismli f} { qisman x_ {i}}} (a_ {1}, ldots, a_ {n}).}$

Boshqacha qilib aytganda a yuqoridagi misolda bo'lgani kabi bitta o'zgaruvchan funktsiyalar oilasini indekslash. Ushbu ibora, shuningdek, qisman hosilalarni hisoblash bir o'zgaruvchan hosilalarni hisoblashgacha kamayishini ko'rsatadi.

Bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan funktsiyalarning muhim misoli - a skalar-qiymatli funktsiya f(x₁, ..., x_n) Evklid fazosidagi domen bo'yicha ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (masalan, yoqilgan ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ yoki ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$). Ushbu holatda f qisman lotiniga ega ∂f/∂x_j har bir o'zgaruvchiga nisbatan x_j. Shu nuqtada a, bu qisman hosilalar vektorni aniqlaydi

${ displaystyle nabla f (a) = chap ({ frac { qismli f} { qisman x_ {1}}} (a), ldots, { frac { qisman f} { qisman x_ { n}}} (a) o'ng).}$

Ushbu vektor gradient ning f da a. Agar f domenning har bir nuqtasida differentsiallanadi, keyin gradient vector vektor bilan baholanadigan funktsiya bo'ladif bu nuqta a vector vektorigaf(a). Binobarin, gradient a hosil qiladi vektor maydoni.

Umumiy yozuvlarni suiiste'mol qilish ni aniqlashdir del operatori (∇) uch o'lchovli quyidagicha Evklid fazosi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ bilan birlik vektorlari ${ displaystyle { hat { mathbf {i}}}, { hat { mathbf {j}}}, { hat { mathbf {k}}}}$:

${ displaystyle nabla = chap [{ frac { qismli} { qismli x}} o'ng] { hat { mathbf {i}}} + chap [{ frac { qismli} { qismli y}} o'ng] { hat { mathbf {j}}} + chap [{ frac { qismli} { qismli z}} o'ng] { hat { mathbf {k}}}}$

Yoki, umuman olganda, uchun n- o'lchovli Evklid fazosi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ koordinatalari bilan ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ va birlik vektorlari ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {1}, ldots, { hat { mathbf {e}}} _ {n}}$:

${ displaystyle nabla = sum _ {j = 1} ^ {n} chap [{ frac { qismli} { qismli x_ {j}}} o'ng] { hat { mathbf {e}} } _ {j} = chap [{ frac { qismli} { qismli x_ {1}}} o'ng] { hat { mathbf {e}}} _ {1} + chap [{ frac { kısmi} { qisman x_ {2}}} o'ng] { hat { mathbf {e}}} _ {2} + ldots + chap [{ frac { qismli} { qismli x_ { n}}} o'ng] { hat { mathbf {e}}} _ {n}}$

Rasmiy ta'rif

Oddiy türevler kabi, qisman türev a sifatida belgilanadi chegara. Ruxsat bering U bo'lish ochiq ichki qism ning ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ va ${ displaystyle f: U to mathbb {R}}$ funktsiya. Ning qisman hosilasi f nuqtada ${} displaystyle mathbf {a} = (a_ {1}, ldots, a_ {n}) U} da$ ga nisbatan men- o'zgaruvchisi x_men sifatida belgilanadi

${ displaystyle { frac { qismli} { qismli x_ {i}}} f ( mathbf {a}) = lim _ {h dan 0} { frac {f (a_ {1}, ldots , a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1}, ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, ldots, a_ {i}, nuqtalar, a_ {n})} {h}}}$

Barcha qisman hosilalar if bo'lsa hamf/∂x_men(a) ma'lum bir nuqtada mavjud a, funktsiya bo'lishi shart emas davomiy U yerda. Ammo, agar barcha qisman hosilalar a Turar joy dahasi ning a va u erda doimiy, keyin f bu umuman farqlanadigan bu mahallada va umumiy lotin doimiydir. Bunday holda, bu aytilgan f bu C¹ funktsiya. Bu vektor qiymatli funktsiyalari uchun umumlashtirish uchun ishlatilishi mumkin, ${ displaystyle f: U to mathbb {R} ^ {m},}$ komponentli argumentdan ehtiyotkorlik bilan foydalanish orqali.

Qisman lotin ${ displaystyle { frac { kısmi f} { qisman x}}}$ -ni aniqlangan boshqa funktsiya sifatida ko'rish mumkin U va yana qisman farqlanishi mumkin. Agar barcha aralash ikkinchi darajali hosilalar bir nuqtada (yoki to'plamda) doimiy bo'lsa, f C deb nomlanadi² o'sha nuqtada (yoki shu to'plamda) funktsiya; bu holda, qisman hosilalarni almashtirish mumkin Klerot teoremasi:

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} f} { qismli x_ {i} qismli x_ {j}}} = { frac { qismli ^ {2} f} { qismli x_ {j} qisman x_ {i}}}.}$

Misollar

Geometriya

Konusning hajmi balandlik va radiusga bog'liq

The hajmi V a konus konusning konusiga bog'liq balandlik h va uning radius r formulaga muvofiq

${ displaystyle V (r, h) = { frac { pi r ^ {2} h} {3}}.}$

Ning qisman hosilasi V munosabat bilan r bu

${ displaystyle { frac { kısmi V} { qismli r}} = { frac {2 pi rh} {3}},}$

konusning radiusi o'zgarib, balandligi o'zgarmas bo'lsa, uning hajmini o'zgartirish tezligini ifodalaydi. Nisbatan qisman hosilasi ${ displaystyle h}$ teng ${ displaystyle { frac { pi r ^ {2}} {3}},}$ balandligi o'zgarib tursa va radiusi o'zgarmas bo'lsa, tovush o'zgarishi tezligini ifodalaydi.

Aksincha, jami lotin ning V munosabat bilan r va h mos ravishda

${ displaystyle { frac {dV} {dr}} = overbrace { frac {2 pi rh} {3}} ^ { frac { kısmi V} { qisman r}} + overbrace { frac { pi r ^ {2}} {3}} ^ { frac { qisman V} { qisman h}} { frac {dh} {dr}}}$

va

${ displaystyle { frac {dV} {dh}} = overbrace { frac { pi r ^ {2}} {3}} ^ { frac { qismli V} { qismli h}} + overbrace { frac {2 pi rh} {3}} ^ { frac { qismli V} { qisman r}} { frac {dr} {dh}}}$

Umumiy va qisman lotin o'rtasidagi farq bu qisman hosilalardagi o'zgaruvchilar o'rtasidagi bilvosita bog'liqliklarni yo'q qilishdir.

Agar (ba'zi bir sabablarga ko'ra) konusning nisbati bir xil bo'lishi kerak bo'lsa va balandlik va radius aniq nisbatda bo'lsa k,

${ displaystyle k = { frac {h} {r}} = { frac {dh} {dr}}.}$

Bu nisbatan to'liq hosilani beradi r:

${ displaystyle { frac {dV} {dr}} = { frac {2 pi rh} {3}} + { frac { pi r ^ {2}} {3}} k}$

bu quyidagilarni soddalashtiradi:

${ displaystyle { frac {dV} {dr}} = k pi r ^ {2}}$

Xuddi shunday, nisbatan to'liq yig'ma h bu:

${ displaystyle { frac {dV} {dh}} = pi r ^ {2}}$

Ga nisbatan umumiy lotin ikkalasi ham Ushbu ikki o'zgaruvchining skaler funktsiyasi sifatida mo'ljallangan hajmning r va h qiymatlari quyidagicha berilgan gradient vektor

${ displaystyle nabla V = chap ({ frac { qisman V} { qisman r}}, { frac { qisman V} { qisman h}} o'ng) = chap ({ frac { 2} {3}} pi rh, { frac {1} {3}} pi r ^ {2} o'ng)}$.

Optimallashtirish

Qisman hosilalar har qanday hisoblash asosida paydo bo'ladi optimallashtirish bir nechta tanlov o'zgaruvchisi bilan bog'liq muammo. Masalan, ichida iqtisodiyot firma maksimal darajaga ko'tarishni xohlashi mumkin foyda π (x, y) miqdorlarni tanlashga nisbatan x va y mahsulotning ikki xil turidan. The birinchi buyurtma shartlari bu optimallashtirish uchun π_x = 0 = π_y. Ikkala qisman lotinlar π bo'lgani uchun_x va π_y umuman o'zlari ikkala argumentning funktsiyalari bo'ladi x va y, bu ikkita birinchi tartib shartlari a hosil qiladi ikkita noma'lumdagi ikkita tenglama tizimi.

Termodinamika, kvant mexanikasi va matematik fizika

Qisman hosilalar termodinamik tenglamalarda o'xshash Gibbs-Duxem tenglamasi, kvant mexanikasida Shredinger to'lqin tenglamasi kabi va boshqa tenglamalarda matematik fizika. Bu erda qisman hosilalarda doimiy ravishda saqlanadigan o'zgaruvchilar oddiy o'zgaruvchilarning nisbati bo'lishi mumkin mol fraktsiyalari x_men uchlik aralash tizimidagi Gibbs energiyasini o'z ichiga olgan quyidagi misolda:

${ displaystyle { bar {G_ {2}}} = G + (1-x_ {2}) chap ({ frac { qismli G} { qisman x_ {2}}} o'ng) _ { frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}$

Ekspres mol fraktsiyalari boshqa komponentlarning mol qismi va ikkilik mol nisbati funktsiyalari sifatida tarkibiy qism:

${ displaystyle x_ {1} = { frac {1-x_ {2}} {1 + { frac {x_ {3}} {x_ {1}}}}}}$

${ displaystyle x_ {3} = { frac {1-x_ {2}} {1 + { frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}}}$

Differentsial kvotalar yuqoridagi kabi doimiy nisbatlarda tuzilishi mumkin:

${ displaystyle chap ({ frac { kısmi x_ {1}} { qisman x_ {2}}} o'ng) _ { frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - { frac {x_ {1}} {1-x_ {2}}}}$

${ displaystyle chap ({ frac { kısmi x_ {3}} { qismli x_ {2}}} o'ng) _ { frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - { frac {x_ {3}} {1-x_ {2}}}}$

Uch va ko'pkomponentli tizimlar uchun mol fraktsiyalarining X, Y, Z nisbatlarini yozish mumkin:

${ displaystyle X = { frac {x_ {3}} {x_ {1} + x_ {3}}}}$

${ displaystyle Y = { frac {x_ {3}} {x_ {2} + x_ {3}}}}$

${ displaystyle Z = { frac {x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2}}}}$

hal qilish uchun ishlatilishi mumkin qisman differentsial tenglamalar kabi:

${ displaystyle chap ({ frac { kısmi mu _ {2}} { qisman n_ {1}}} o'ng) _ {n_ {2}, n_ {3}} = chap ({ frac { kısmi mu _ {1}} { qisman n_ {2}}} o'ng) _ {n_ {1}, n_ {3}}}$

Ushbu tenglikni bir tomonda mol fraktsiyalarining differentsial miqdori bo'lishi uchun qayta tuzish mumkin.

Rasm o'lchamini o'zgartirish

Qisman lotinlar maqsadni anglaydigan tasvir o'lchamlarini o'zgartirish algoritmlari uchun kalit hisoblanadi. Sifatida keng tanilgan tikuv o'ymakorligi, bu algoritmlar har birini talab qiladi piksel rasmda ularning ortogonal qo'shni piksellarga o'xshashliklarini tavsiflash uchun raqamli "energiya" berilishi kerak. The algoritm keyin eng kam energiya bilan satrlarni yoki ustunlarni bosqichma-bosqich olib tashlaydi. Piksel energiyasini aniqlash uchun belgilangan formula (kattaligi gradient pikselda) asosan qisman hosilalar konstruktsiyalariga bog'liq.

Iqtisodiyot

Qisman lotinlar muhim rol o'ynaydi iqtisodiyot, iqtisodiy xatti-harakatni tavsiflovchi aksariyat funktsiyalar xatti-harakatlar bir nechta o'zgaruvchiga bog'liqligini keltirib chiqaradi. Masalan, ijtimoiy iste'mol funktsiyasi iste'mol tovarlari uchun sarflangan mablag'ni daromad va boylikka bog'liq ravishda tavsiflashi mumkin; The iste'mol qilishga marginal moyillik u holda iste'mol funktsiyasining daromadga nisbatan qisman hosilasi.

Notation

Quyidagi misollar uchun, ruxsat bering ${ displaystyle f}$ funktsiya bo'lishi ${ displaystyle x, y}$ va ${ displaystyle z}$.

Birinchi darajali qisman hosilalar:

${ displaystyle { frac { qismli f} { qismli x}} = f_ {x} = qisman _ {x} f.}$

Ikkinchi tartibli qisman hosilalar:

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} f} { qismli x ^ {2}}} = f_ {xx} = qisman _ {xx} f = qismli _ {x} ^ {2} f .}$

Ikkinchi tartib aralash hosilalar:

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} f} { qismli y , qismli x}} = { frac { qismli} { qismli y}} chap ({ frac { qismli f } { qisman x}} o'ng) = (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy} = qismli _ {yx} f = qisman _ {y} qismli _ {x} f.}$

Yuqori darajadagi qisman va aralash hosilalar:

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {i + j + k} f} { qismli x ^ {i} qisman y ^ {j} qisman z ^ {k}}} = f ^ {(i, j, k)} = qisman _ {x} ^ {i} qisman _ {y} ^ {j} qisman _ {z} ^ {k} f.}$

Ko'p o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlashda ushbu o'zgaruvchilarning ba'zilari bir-biri bilan bog'liq bo'lishi mumkin, shuning uchun noaniqlikni oldini olish uchun qaysi o'zgaruvchilar doimiyligini aniq belgilash kerak bo'lishi mumkin. Kabi sohalarda statistik mexanika, ning qisman hosilasi ${ displaystyle f}$ munosabat bilan ${ displaystyle x}$, ushlab turish ${ displaystyle y}$ va ${ displaystyle z}$ doimiy, ko'pincha quyidagicha ifodalanadi

${ displaystyle chap ({ frac { qismli f} { qismli x}} o'ng) _ {y, z}.}$

Odatda, yozuvlarning ravshanligi va soddaligi uchun qisman lotin funktsiya va qiymat funktsiyaning ma'lum bir nuqtasida birlashtirilgan qisman hosilaviy belgi (Leybnits yozuvi) ishlatilganda funktsiya argumentlarini kiritish orqali. Shunday qilib, shunga o'xshash ifoda

${ displaystyle { frac { f (x, y, z)} {{qisman x}}}$

funktsiyasi uchun ishlatiladi, while esa

${ displaystyle { frac { qisman f (u, v, w)} { qisman u}}}$

funktsiyaning nuqtadagi qiymati uchun ishlatilishi mumkin ${ displaystyle (x, y, z) = (u, v, w)}$. Biroq, qisman lotinni shunga o'xshash nuqtada baholashni xohlaganimizda, ushbu konventsiya buziladi ${ displaystyle (x, y, z) = (17, u + v, v ^ {2})}$. Bunday holda, funktsiyani baholash noaniq tarzda ifodalanishi kerak

${ displaystyle { frac { f (x, y, z)} {{qisman x}} (17, u + v, v ^ {2})}$

yoki

${ displaystyle chap. { frac { qisman f (x, y, z)} { qisman x}} o'ng | _ {(x, y, z) = (17, u + v, v ^ { 2})}}$

Leybnits yozuvidan foydalanish uchun. Shunday qilib, ushbu holatlarda Eyler differentsial operatori yozuvidan bilan foydalanish afzalroq bo'lishi mumkin ${ displaystyle D_ {i}}$ ga nisbatan qisman hosila belgisi sifatida menth o'zgaruvchisi. Masalan, bittasi yozadi ${ displaystyle D_ {1} f (17, u + v, v ^ {2})}$ yuqorida bayon qilingan misol uchun, ifoda esa ${ displaystyle D_ {1} f}$ qisman hosilasini ifodalaydi funktsiya 1-o'zgaruvchiga nisbatan.^[2]

Yuqori tartibli qisman hosilalar uchun qismning hosilasi (funktsiyasi) ning ${ displaystyle D_ {i} f}$ ga nisbatan jth o'zgaruvchisi belgilanadi ${ displaystyle D_ {j} (D_ {i} f) = D_ {i, j} f}$. Anavi, ${ displaystyle D_ {j} circ D_ {i} = D_ {i, j}}$, shuning uchun o'zgaruvchilar lotin olingan tartibda va shu bilan operatorlarning tarkibi odatda qanday yozilganligi teskari tartibda keltirilgan. Albatta, Klerot teoremasi shuni anglatadiki ${ displaystyle D_ {i, j} = D_ {j, i}}$ nisbatan yumshoq me'yoriy sharoitlar mavjud ekan f mamnun.

Antiderivativ analog

Shunga o'xshash bo'lgan qisman hosilalar uchun tushuncha mavjud antidiviv vositalar muntazam hosilalar uchun. Qisman lotinni hisobga olgan holda, u asl funktsiyani qisman tiklashga imkon beradi.

Ning misolini ko'rib chiqing

${ displaystyle { frac { qismli z} { qismli x}} = 2x + y.}$

"Qisman" integralni nisbatan qabul qilish mumkin x (davolash y doimiy ravishda, qisman farqlashga o'xshash tarzda):

${ displaystyle z = int { frac { qismli z} { qisman x}} , dx = x ^ {2} + xy + g (y)}$

Mana "doimiy" integratsiya endi doimiy emas, balki uning o'rniga asl funktsiyasining barcha o'zgaruvchilarining funktsiyasi x. Buning sababi shundaki, boshqa barcha o'zgaruvchilar qisman lotinni qabul qilishda doimiy deb hisoblanadi, shuning uchun har qanday funktsiya o'z ichiga olmaydi ${ displaystyle x}$ qisman lotinni qabul qilishda yo'q bo'lib ketadi va antidivivni qabul qilganimizda buni hisobga olishimiz kerak. Buni aks ettirishning eng umumiy usuli "doimiy" ning boshqa barcha o'zgaruvchilarning noma'lum funktsiyasini ifodalashidir.

Shunday qilib funktsiyalar to'plami ${ displaystyle x ^ {2} + xy + g (y)}$, qayerda g har qanday bitta argumentli funktsiya bo'lib, o'zgaruvchilar tarkibidagi barcha funktsiyalar to'plamini aks ettiradi x,y ishlab chiqarishi mumkin edi x-qismiy hosila ${ displaystyle 2x + y}$.

Agar funktsiyaning barcha qisman hosilalari ma'lum bo'lsa (masalan, bilan gradient ), keyin antidivivativlarni yuqoridagi jarayon orqali moslab, asl funktsiyani doimiygacha tiklash mumkin. Biroq, bitta o'zgaruvchan holatdan farqli o'laroq, har bir funktsiya to'plami bitta funktsiyaning barcha (birinchi) qisman hosilalari to'plami bo'lishi mumkin emas. Boshqacha qilib aytganda, har bir vektor maydoni shunday emas konservativ.

Yuqori darajadagi qisman hosilalar

Ikkinchi va undan yuqori tartibli qisman hosilalar, bir o'zgaruvchan funktsiyalarning yuqori darajadagi hosilalariga o'xshash tarzda aniqlanadi. Funktsiya uchun ${ displaystyle f (x, y, ...)}$ nisbatan "o'z" ikkinchi qisman hosilasi x shunchaki qisman hosilaning qisman hosilasi (ikkalasiga nisbatan ham) x):^{[3]:316–318}

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} f} { qismli x ^ {2}}} ekviv qismli { frac { qismli f / qismli x} { qismli x}} ekviv { frac { qismli f_ {x}} { qisman x}} equiv f_ {xx}.}$

Nisbatan xoch qisman hosilasi x va y ning qisman hosilasini olish orqali olinadi f munosabat bilan x, so'ngra natijaning qisman hosilasini nisbatan y, olish

${ displaystyle { frac { qismli ^ {2} f} { qismli y , qisman x}} equiv qisman { frac { qisman f / qismli x} { qisman y}} ekviv { frac { qismli f_ {x}} { qismli y}} equiv f_ {xy}.}$

Shvarts teoremasi agar ikkinchi hosilalar uzluksiz bo'lsa, o'zaro bog'liqlikdagi qisman hosilaning ifodasi qaysi o'zgaruvchiga ta'sir qiladi, qisman hosilasi birinchi qismga nisbatan qabul qilinadi va ikkinchisi olinadi. Anavi,

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} f} { qismli x , qismli y}} = { frac { qismli ^ {2} f} { qismli y , qisman x}} }$

yoki unga teng ravishda ${ displaystyle f_ {xy} = f_ {yx}.}$

O'z tarkibidagi va o'zaro bog'liq qisman hosilalar Gessian matritsasi da ishlatiladigan ikkinchi buyurtma shartlari yilda optimallashtirish muammolar.

Shuningdek qarang

Izohlar

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Qisman lotin", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Qisman lotinlar da MathWorld