P-adik L funktsiyasi - P-adic L-function

Yilda matematika, a p- odatiy zeta funktsiyasi, yoki umuman olganda a p-adik L-funktsiya, ga o'xshash funktsiya Riemann zeta funktsiyasi yoki umuman ko'proq L-funktsiyalar, lekin kimniki domen va nishon bor p-adic (qayerda p a asosiy raqam ). Masalan, domen bo'lishi mumkin p- oddiy tamsayılar Z_p, a mukammal p-grup yoki a p- odatiy oila Galois vakolatxonalari va tasvir bo'lishi mumkin p- oddiy raqamlar Q_p yoki uning algebraik yopilish.

A manbasi p-adik L-funktsiya ikki turdan biriga moyil bo'ladi. Birinchi manba - undan Tomio Kubota va Geynrix-Volfgang Leopoldt a ning birinchi qurilishini berdi p-adik L-funktsiya (Kubota va Leopoldt 1964 yil ) - orqali p-adad interpolatsiyasi ning maxsus qiymatlari L-funktsiyalar. Masalan, Kubota – Leopoldt ishlatilgan Kummerning uyg'unliklari uchun Bernulli raqamlari qurish a p-adik L-funktsiya, p- odatiy Riemann zeta funktsiyasi ζ_p(s), manfiy toq sonlaridagi qiymatlar manfiy toq sonlardagi Riemann zeta funktsiyasining qiymatlari (aniq tuzatish koeffitsientigacha). p-adik L-shunday uslubda paydo bo'ladigan funktsiyalar odatda deyiladi analitik p-adik L-funktsiyalar. Ning boshqa asosiy manbai p-adik L-funktsiyalar - birinchi tomonidan kashf etilgan Kenkichi Ivasava - ning arifmetikasidan siklotomik maydonlar yoki umuman olganda, aniq Galois modullari ustida siklotomik maydonlarning minoralari yoki undan ham ko'proq umumiy minoralar. A p-adik L-shunday tarzda paydo bo'ladigan funktsiya odatda an deb nomlanadi arifmetik p-adik L-funktsiya chunki u Galois modulining arifmetik ma'lumotlarini kodlaydi. The Ivasava nazariyasining asosiy gumoni (endi tufayli teorema Barri Mazur va Endryu Uayls ) bu Kubota-Leopoldt degan bayonotdir p-adik L-funktsiya va Ivasava nazariyasi tomonidan qurilgan arifmetik analog aslida bir xil. Ham analitik, ham arifmetik umumiy holatlarda p-adik L-funktsiyalar tuzilgan (yoki kutilgan), ular rozi ekanliklari Ivasava nazariyasining ushbu vaziyat uchun asosiy gumoni deb ataladi. Bunday gumonlar falsafaga tegishli rasmiy qadriyatlarni ifodalaydi L-funktsiyalar tarkibida arifmetik ma'lumotlar mavjud.

Dirichlet L-funktsiyalari

Dirichlet L-funktsiyasi ning analitik davomi bilan beriladi

${displaystyle L (s, chi) = sum _ {n} {frac {chi (n)} {n ^ {s}}} = prod _ {p {ext {prime}}} {frac {1} {1- chi (p) p ^ {- s}}}}$

Dirichlet L-manfiy tamsayılarda funktsiya quyidagicha berilgan

${displaystyle L (1-n, chi) = - {frac {B_ {n, chi}} {n}}}$

qayerda B_{n, χ} a umumlashtirilgan Bernulli raqami tomonidan belgilanadi

${displaystyle displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} B_ {n, chi} {frac {t ^ {n}} {n!}} = sum _ {a = 1} ^ {f} {frac {chi (a) te ^ {at}} {e ^ {ft} -1}}}$

χ uchun dirijletli dirijlet belgisi f.

Interpolatsiya yordamida ta'rif

Kubota-Leopoldt p-adik L-funktsiya L_p(s, χ) Dirichletni interpolatsiya qiladi L- Eyler faktori bilan ishlash p olib tashlandi, aniqrog'i, L_p(s, χ) - ning yagona uzluksiz funktsiyasi p-adad raqam s shu kabi

${displaystyle displaystyle L_ {p} (1-n, chi) = (1-chi (p) p ^ {n-1}) L (1-n, chi)}$

musbat tamsayılar uchun n bo'linadi p - 1. O'ng tomon odatdagidek Dirichlet L-funktsiya, bundan tashqari, Eyler faktori at p olib tashlanadi, aks holda bunday bo'lmaydi p- doimiy ravishda. O'ng tomonning uzluksizligi bilan chambarchas bog'liq Kummer bilan kelishuvlar.

Qachon n ga bo'linmaydi p - 1 bu odatda bajarilmaydi; o'rniga

${displaystyle displaystyle L_ {p} (1-n, chi) = (1-chi omega ^ {- n} (p) p ^ {n-1}) L (1-n, chi omega ^ {- n}) }$

musbat tamsayılar uchun n. Bu erda χ ning kuchi bilan buriladi Teichmuller xarakteri ω.

A sifatida ko'rilgan p-adik o'lchov

p-adik L-funktsiyalarni quyidagicha o'ylash mumkin p-adik choralari (yoki p-adik taqsimotlar ) ustida p-profinite Galois guruhlari. Ushbu nuqtai nazar bilan Kubota-Leopoldtning asl nuqtai nazari o'rtasidagi tarjima (as.) Q_p-funktsiyalari bo'yicha Z_p) orqali Mazur-Mellin konvertatsiyasi (va sinf maydon nazariyasi ).

Umuman haqiqiy maydonlar

Deligne & Ribet (1980), avvalgi ishlariga binoan Serre (1973), analitik qurilgan p-adik L- to'liq real maydonlar uchun funktsiyalar. Mustaqil ravishda, Barskiy (1978) va Kassu-Noges (1979) xuddi shu narsani qildi, ammo ularning yondashuvlari Takuro Sintanining tadqiqotga bo'lgan yondashuviga ergashdi L-qiymatlar.

Adabiyotlar

• Barskiy, Daniel (1978), "Fonksiyonlar zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels", yilda Amis, Y.; Barski, D .; Robba, P. (tahr.), D'Etude d'Analyse Ultramétrique guruhi (5-année: 1977/78), 16, Parij: sekretariat matematikasi, ISBN  978-2-85926-266-2, JANOB  0525346
• Cassou-Nogues, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Mathematicae ixtirolari, 51 (1): 29–59, doi:10.1007 / BF01389911, ISSN  0020-9910, JANOB  0524276
• Coates, John (1989), "P-adik L funktsiyalari to'g'risida", Asterisk (177): 33–59, ISSN  0303-1179, JANOB  1040567
• Kolmez, Per (2004), Fonteynning halqalari va p-adik L funktsiyalari (PDF)
• Deligne, Per; Ribet, Kennet A. (1980), "Salbiy tamsayılarda abelian L-funktsiyalarining qiymatlari umuman haqiqiy maydonlar bo'yicha", Mathematicae ixtirolari, 59 (3): 227–286, Bibcode:1980InMat..59..227D, doi:10.1007 / BF01453237, ISSN  0020-9910, JANOB  0579702
• Ivasava, Kenkichi (1969), "P-adik L funktsiyalari to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, Matematika yilnomalari, 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970817, JANOB  0269627
• Ivasava, Kenkichi (1972), P-adik L funktsiyalari bo'yicha ma'ruzalar, Prinston universiteti matbuoti, ISBN  978-0-691-08112-0, JANOB  0360526
• Katz, Nikolas M. (1975), "elliptik egri chiziqlar modullari orqali p-adik L-funktsiyalar", Algebraik geometriya, Proc. Simpozlar. Sof matematik., 29, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, 479-506 betlar, JANOB  0432649
• Koblitz, Nil (1984), p-adic Raqamlar, p-adic Analysis va Zeta-Funksiyalar, Matematikadan aspirantura matnlari, vol. 58, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96017-3, JANOB  0754003
• Kubota, Tomio; Leopoldt, Geynrix-Volfgang (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 214/215: 328–339, ISSN  0075-4102, JANOB  0163900^{[doimiy o'lik havola ]}
• Serre, Jan-Per (1973), "Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques", Kuyk, Villemda; Serre, Jan-Per (tahr.), Bir o'zgaruvchining modul funktsiyalari, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Matematikadan ma'ruzalar, 350, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 191-268 betlar, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN  978-3-540-06483-1, JANOB  0404145