Birlik doirasidagi ortogonal polinomlar - Orthogonal polynomials on the unit circle - Wikipedia

Matematikada, birlik doirasidagi ortogonal polinomlar oilalari integralga nisbatan ortogonal bo'lgan polinomlar ustidan birlik doirasi ichida murakkab tekislik, ba'zilari uchun ehtimollik o'lchovi birlik doirasida. Ular Szegő tomonidan tanishtirildi (1920, 1921, 1939 ).

Ta'rif

Aytaylik ${ displaystyle mu}$ murakkab tekislikdagi birlik doirasidagi ehtimollik o'lchovi, kimning qo'llab-quvvatlash cheklangan emas. Ga bog'langan ortogonal polinomlar ${ displaystyle mu}$ polinomlar ${ displaystyle Phi _ {n} (z)}$ etakchi muddat bilan ${ displaystyle z ^ {n}}$ o'lchovga nisbatan ortogonal bo'lgan ${ displaystyle mu}$.

Sege takrorlanishi

Szegening takrorlanishi shuni ko'rsatadiki

${ displaystyle Phi _ {0} (z) = 1}$

${ displaystyle Phi _ {n + 1} (z) = z Phi _ {n} (z) - { overline { alfa}} _ {n} Phi _ {n} ^ {*} (z )}$

qayerda

${ displaystyle Phi _ {n} ^ {*} (z) = z ^ {n} { overline { Phi _ {n} (1 / { overline {z}})}}}$

koeffitsientlari teskari va murakkab konjuge qilingan polinom bo'lib, qaerda Verblunskiy koeffitsientlari ${ displaystyle alpha _ {n}}$ mutlaq qiymatlari 1 dan kichik bo'lgan murakkab sonlar.

Verblunskiy teoremasi

Verblunskiy teoremasi ochiq birlik diskidagi har qanday kompleks sonlar ketma-ketligi birlik doirasidagi cheksiz qo'llab-quvvatlanadigan noyob ehtimollik o'lchovi uchun Verblunskiy koeffitsientlarining ketma-ketligi ekanligini ta'kidlaydi.

Geronim teoremasi

Geronimus teoremasi m o'lchovining Verblunskiy koeffitsientlari quyidagicha ekanligini ta'kidlaydi Schur parametrlari funktsiyasi ${ displaystyle f}$ tenglamalar bilan belgilanadi

${ displaystyle { frac {1 + zf (z)} {1-zf (z)}} = F (z) = int { frac {e ^ {i theta} + z} {e ^ {i theta} -z}} d mu.}$

Baxter teoremasi

Baxter teoremasi, Verblunskiy koeffitsientlari mutlaq konvergent qator hosil qiladi, agar ${ displaystyle mu}$ mutlaqo yaqinlashuvchi qatorni va vazn funktsiyasini hosil qiladi ${ displaystyle w}$ hamma joyda qat'iy ijobiydir.

Szeg teoremasi

Szege teoremasi buni ta'kidlaydi

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1- | alfa _ {n} | ^ {2}) = exp { big (} int _ {0} ^ {2 ) pi} log (w ( theta)) d theta / 2 pi { big)}}$

qayerda ${ displaystyle wd theta / 2 pi}$ o'lchovning mutlaqo uzluksiz qismidir ${ displaystyle mu}$.

Raxmanov teoremasi

Raxmanov teoremasida aytilishicha, agar mutlaqo uzluksiz qism ${ displaystyle w}$ o'lchov ${ displaystyle mu}$ deyarli hamma joyda ijobiy, keyin Verblunskiy koeffitsientlari ${ displaystyle alpha _ {n}}$ 0 ga moyil.

Misollar

The Rojers-Szeg polinomlari birlik doirasidagi ortogonal polinomlarga misol.

Adabiyotlar

• Koornwinder, Tom X.; Vong, Roderik S. S.; Koekoek, Roelof; Svartov, René F. (2010), "Birlik doirasidagi ortogonal polinomlar", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-19225-5, JANOB  2723248
• Simon, Barri (2005), Birlik doirasidagi ortogonal polinomlar. 1-qism. Klassik nazariya, Amerika Matematik Jamiyati Kollokvium nashrlari, 54, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0-8218-3446-6, JANOB  2105088
• Simon, Barri (2005), Birlik doirasidagi ortogonal polinomlar. 2-qism. Spektral nazariya, Amerika Matematik Jamiyati Kollokvium nashrlari, 54, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0-8218-3675-0, JANOB  2105089
• Cheze, Gábor (1920), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift, 6 (3–4): 167–202, doi:10.1007 / BF01199955, ISSN  0025-5874, S2CID  118147030
• Cheze, Gábor (1921), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift, 9 (3–4): 167–190, doi:10.1007 / BF01279027, ISSN  0025-5874, S2CID  125157848
• Cheze, Gábor (1939), Ortogonal polinomlar, Kollokvium nashrlari, XXIII, Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0-8218-1023-1, JANOB  0372517