Nash funktsiyalari - Nash functions - Wikipedia

Yilda haqiqiy algebraik geometriya, a Nash funktsiyasi ochiq semialgebraik kichik to'plamda U ⊂ Rⁿ bu analitik funktsiya f: U → R nrivrivial polinom tenglamasini qondirish P(x,f(x)) = 0 hamma uchun x yilda U (A semialgebraik kichik to'plam ning Rⁿ shaklning pastki to'plamlaridan olingan kichik to'plamdir {x yilda Rⁿ : P(x) = 0} yoki {x yilda Rⁿ : P(x)> 0}, qaerda P sonli kasaba uyushmalarini, cheklangan chorrahalar va qo'shimchalarni olish orqali polinom). Nash funktsiyalarining ba'zi bir misollari:

Polinom va muntazam ratsional funktsiyalar Nash funktsiyalari.
${ displaystyle x mapsto { sqrt {1 + x ^ {2}}}}$ Nash on R.
haqiqiy nosimmetrik matritsaga bog'laydigan funktsiya uning men- o'ziga xos qiymat (ortib boruvchi tartibda) ko'p qiymatga ega bo'lmagan nosimmetrik matritsalarning ochiq pastki qismidagi Nash.

Nash funktsiyalari - bu uchun kerak bo'lgan funktsiyalar yashirin funktsiya haqiqiy algebraik geometriyadagi teorema.

Nash manifoldlari

Nash funktsiyalari bilan bir qatorda uni belgilaydi Nash manifoldlari, ba'zilarining yarimialgebraik analitik submanifoldlari Rⁿ. Nash manifoldlari orasidagi Nash xaritasi keyinchalik semialgebraik grafika bilan analitik xaritalashdir. Nash funktsiyalari va manifoldlari nomi berilgan Jon Forbes Nash, kichik., kim (1952) har qanday ixcham ekanligini isbotladi silliq manifold Nash manifold tuzilishini tan oladi, ya'ni diffeomorfik ba'zi Nash manifoldlariga. Umuman olganda, silliq kollektor Nash manifold tuzilishini tan oladi, agar u cheklangan holda biron bir ixcham silliq manifoldning ichki qismiga diffeomorf bo'lsa. Keyinchalik Nashning natijasi (1973) tomonidan yakunlandi Alberto Tognoli har qanday ixcham silliq manifold ba'zi bir afine haqiqiy algebraik manifold uchun diffeomorfik ekanligini isbotlagan; aslida, har qanday Nash manifoldu afin haqiqiy algebraik manifoldga nisbatan diffeomorfdir. Ushbu natijalar Nash toifasining silliq va algebraik toifalar o'rtasida bir oz oraliq ekanligini misol qilib keltiradi.

Mahalliy xususiyatlar

Nash funktsiyalarining mahalliy xususiyatlari yaxshi tushuniladi. Halqasi mikroblar Nash o'lchamlari Nash ko'p qirrali nuqtasida ishlaydi n ning algebraik quvvat qatori halqasiga izomorfdir n o'zgaruvchilar (ya'ni, noan'anaviy polinom tenglamasini qondiradigan qatorlar), ya'ni henselizatsiya ratsional funktsiyalar mikroblari halqasining. Xususan, bu muntazam mahalliy uzuk o'lchov n.

Global xususiyatlar

Global xususiyatlarni olish qiyinroq. Nash halqasining Nash manifoldida ishlashi (hatto kompakt bo'lmagan) haqiqatdir noeteriya mustaqil ravishda (1973) Jan-Jak Risler va Gustav Efroymson tomonidan isbotlangan. Nash manifoldlari o'xshash xususiyatlarga ega, ammo kuchsizroq Kartan teoremalari A va B kuni Stein manifoldlari. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ Nash funktsiyali mikroblarni Nash manifoldini belgilang Mva ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ bo'lishi a izchil sheaf ning ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ - g'oyalar. Faraz qiling ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ cheklangan, ya'ni cheklangan ochiq semialgebraik qoplama mavjud ${ displaystyle {U_ {i} }}$ ning M shunday qilib, har biri uchun men, ${ displaystyle { mathcal {I}} | _ {U_ {i}}}$ Nash funktsiyalari tomonidan yaratilgan ${ displaystyle U_ {i}}$ . Keyin ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ Nash funktsiyalari tomonidan global ishlab chiqarilgan Mva tabiiy xarita

{ displaystyle H ^ {0} (M, { mathcal {N}}) to H ^ {0} (M, { mathcal {N}} / { mathcal {I}})}

sur'ektiv. Ammo

{ displaystyle H ^ {1} (M, { mathcal {N}}) neq 0, { text {if}} dim (M)> 0,}

Stein kollektorlari holatiga zid ravishda.

Umumlashtirish

Nash funktsiyalari va manifoldlari har qanday narsada aniqlanishi mumkin haqiqiy yopiq maydon o'rniga haqiqiy sonlar maydoni va yuqoridagi so'zlar hali ham mavjud. Abstrakt Nash funktsiyalari har qanday komutativ halqaning haqiqiy spektrida ham aniqlanishi mumkin.

Manbalar

J. Bochnak, M. Koste va M-F. Roy: Haqiqiy algebraik geometriya. Springer, 1998 yil.
M. Koste, JM Ruiz va M. Shiota: Nash funktsiyalari bo'yicha global muammolar. Revista Matem 'atica Complutense 17 (2004), 83-115.
G. Efroymson: Nash halqalari uchun Nullstellensatz. Tinch okeani J. matematikasi. 54 (1974), 101-112.
J.F.Nash: Haqiqiy algebraik manifoldlar. Matematika yilnomalari 56 (1952), 405-421.
J-J. Risler: Nash global miqyosidagi Sur l'anneau des fonctions. C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij Sér. A-B 276 (1973), A1513 - A1516.
M. Shiota: Nash manifoldlari. Springer, 1987 yil.
A. Tognoli: Su una congettura di Nash. Ann. Skuola normasi. Sup. Pisa 27 (1973), 167-185.