N-ary guruhi - N-ary group

Yilda matematika va xususan universal algebra, an tushunchasi n-ary guruhi (shuningdek, deyiladi n-grup yoki ko'p sonli guruh) a tushunchasini umumlashtirishdir guruh to'plamga G bilan n-ariy operatsiya ikkilik operatsiya o'rniga.[1] Tomonidan n-ary operatsiyasi har qanday xaritani anglatadi f: Gn → G dan n- ning dekartian kuchi G ga G. The aksiomalar uchun n-ary guruhi shunday aniqlanadi, ular ishdagi guruhdagilarga kamaytirilsin n = 2. Ushbu tuzilmalar bo'yicha eng dastlabki ishni 1904 yilda Kasner va 1928 yilda Dörnte amalga oshirgan;[2] birinchi sistematik hisob (keyinchalik nima deb nomlangan) polyadik guruhlar tomonidan 1940 yilda berilgan Emil Leon Post dagi mashhur 143 betlik qog'ozda Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari.[3]

Aksiomalar

Assotsiativlik

Umumlashtirishning eng oson aksiomasi bu assotsiativ qonundir. Uchlamchi assotsiativlik - bu polinomning o'ziga xosligi (abc)de = a(miloddan avvalgi)e = ab(cde), ya'ni ipning mumkin bo'lgan uchta qavsining tengligi abcde unda har qanday ketma-ket uchta belgi qavs ichiga olinadi. (Bu erda elementlarning o'zboshimchalik bilan tanlanishi uchun tenglamalar bajarilishi tushuniladi a, b, c, d, e yilda G.) Umuman, n-ary assotsiativlik - ning tengligi n dan iborat bo'lgan ipning mumkin bo'lgan qavslari n+(n-1) = 2n-1 har qanday alohida belgilar n Qavslangan ketma-ket belgilar. To'plam G assotsiativ ostida yopilgan n-ar operatsiyasi an deb nomlanadi n- yarim yarim guruh. To'plam G yopiq (har qanday assotsiatsiya shart emas) n-ar operatsiyasi an deb nomlanadi n-ary guruxsimon.

Teskari yo'nalishlar / noyob echimlar

Teskari aksioma quyidagicha umumlashtiriladi: ikkilik operatsiyalarda teskari vositaning mavjudligi bolta = b uchun noyob echimga ega xva shunga o'xshash xa = b noyob echimga ega. Uchinchi holatda biz buni umumlashtiramiz abx = v, axb = v va xablar = v ularning har biri o'ziga xos echimlarga ega va n-ary holat noyob echimlarning mavjud bo'lishining o'xshash naqshiga amal qiladi va biz uni olamiz n- kvazigrup.

Ta'rifi n-ary guruh

An n-ary guruhi bu n- yarim yarim guruh, bu ham an n- kvazigrup.

Identifikatsiya / neytral elementlar

2-ary holda, ya'ni oddiy guruh uchun identifikatsiya elementining mavjudligi assotsiativlik va teskari aksiomalarning natijasidir, ammo n-ary guruhlarida n-3 uchun nol, bitta yoki ko'p o'zlik elementlari bo'lishi mumkin .

An n-ary groupoid (G, ƒ) bilan ƒ = (x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn), qaerda (G, ◦) - bu guruh reduktiv deb ataladi yoki guruhdan kelib chiqadi (G, ◦). 1928 yilda Dörnte [2] birinchi asosiy natijalarni e'lon qildi: An nkamaytiriladigan -ary guruhoidasi an n-ary guruhi, ammo barchasi uchun n > 2 mavjud nkamaytirilmaydigan birinchi guruhlar. Ba'zilarida n-ary guruhlari element mavjud e (deb nomlangan n-ary identifikatori yoki neytral element) kabi har qanday satr n- barchadan iborat elementlar eU, bitta joydan tashqari, o'sha joydagi elementga mos keladi. Masalan, o'ziga xosligi bilan to'rtinchi guruhda e, eeae = a har bir kishi uchun a.

An nneytral elementni o'z ichiga olgan -ary guruhi qaytarilishi mumkin. Shunday qilib, an nkamaytirilmaydigan -ary guruhida bunday elementlar mavjud emas. Mavjud n- bir nechta neytral elementga ega bo'lgan guruhlar. Agar an ning barcha neytral elementlari to'plami bo'lsa n-ary guruhi bo'sh emas va uni hosil qiladi n-ar kichik guruhi.[4]

Ba'zi mualliflar an ta'rifiga shaxsiyatni kiritadilar n-ary guruhi, ammo yuqorida aytib o'tilganidek n-ary operatsiyalari shunchaki takrorlangan ikkilik amallardir. Ichki tomondan guruhlar n-ary operatsiyalarida identifikatsiya elementi mavjud emas.[5]

Zaif aksiomalar

Assotsiativlik aksiomalari va an ta'rifidagi noyob echimlar n-ary guruhi kerak bo'lganidan kuchliroq. Taxminiga ko'ra n-ariy assotsiativlik, mag'lubiyat boshida yoki oxirida yoki uchlaridan tashqari bir joyda noma'lum bo'lgan tenglamalar echimining mavjudligini postulyatsiya qilish kifoya; masalan, 6-ary holda, xabcde=f va abcdex=fyoki shunga o'xshash ibora abxcde=f. Keyin tenglama uchun yagona echimga ega ekanligini isbotlash mumkin x ipning istalgan joyida.[3]Assotsiativlik aksiomasi kuchsizroq shaklda ham berilishi mumkin.[1]:17

Misol

Quyida uchta element uchlik guruhiga misol keltirilgan, bunday to'rt guruhdan biri[6]

(n, m) - guruh

N-guruh guruhining kontseptsiyasini an-ga qo'shimcha ravishda umumlashtirish mumkin (n, m) - guruh, shuningdek, a vektorli guruh, bu xarita bilan G to'plamidir f: Gn → Gm bu erda n> m, n-ary guruhiga o'xshash aksiomalarga bo'ysunadi, faqat xaritaning natijasi bitta harf o'rniga m harflaridan iborat bo'lgan so'zdir. Shunday qilib (n, 1) guruh n-ary guruhidir. (n, m) -gruplar 1983 yilda G Ĉupona tomonidan kiritilgan.[7]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ a b Dudek, VA (2001), "Ba'zi eski va yangi muammolar to'g'risida n-ary guruhlari " (PDF), Kvazigruplar va tegishli tizimlar, 8: 15–36.
  2. ^ a b V. Dörnte, Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff, Mathematische Zeitschrift, vol. 29 (1928), 1-19 betlar.
  3. ^ a b E. L. Post, Polyadik guruhlar, Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari 48 (1940), 208–350.
  4. ^ Vislov A. Dudek, Głazek natijalariga izoh n-ary guruhlari, Mathematicae munozarasi. Umumiy algebra va ilovalar 27 (2007), 199–233.
  5. ^ Vislov A. Dudek va Kazimyerz Glazek, Hosszu-Gluskin teoremasi atrofida n-ary guruhlari, Diskret matematika 308 (2008), 486–4876.
  6. ^ http://tamivox.org/dave/math/tern_quasi/assoc12345.html
  7. ^ (N, m) - guruhlar, J Ushan - Mathematica Moravica, 2000 yil

Qo'shimcha o'qish

  • S. A. Rusakov: n-ary guruh nazariyasining ba'zi qo'llanmalari, (ruscha), Belaruskaya navuka, Minsk 1998 y.