Monomial - Monomial - Wikipedia

Yilda matematika, a monomial , taxminan, a polinom faqat bittasi bor muddat. Monomialning ikkita ta'rifiga duch kelish mumkin:

Monomial, shuningdek, deyiladi quvvat mahsuloti, ning vakolatlari mahsulotidir o'zgaruvchilar bilan salbiy bo'lmagan butun son ko'rsatkichlar, yoki boshqacha qilib aytganda, o'zgaruvchan mahsulot, ehtimol takrorlash bilan. Masalan, ${ displaystyle x ^ {2} yz ^ {3} = xxyzzz}$ monomial hisoblanadi. Doimiy 1 - monomial, ga teng bo'sh mahsulot va ga $x$ ⁰ har qanday o'zgaruvchi uchun $x$ . Agar bitta o'zgaruvchi bo'lsa $x$ deb hisoblanadi, bu monomial yoki 1 yoki kuch ekanligini anglatadi $x n$ ning $x$ , bilan $n$ musbat tamsayı. Agar bir nechta o'zgaruvchilar ko'rib chiqilsa, aytaylik ${ displaystyle x, y, z,}$ har bir monomial shaklga ega bo'lishi uchun har biriga daraja berilishi mumkin ${ displaystyle x ^ {a} y ^ {b} z ^ {c}}$ bilan ${ displaystyle a, b, c}$ manfiy bo'lmagan tamsayılar (har qanday 0 ko'rsatkichi mos keladigan omilni 1 ga tenglashishini hisobga olsak).
Monomial - bu birinchi ma'noda nolga teng doimiyga ko'paytiriladigan monomialdir koeffitsient monomial. Birinchi ma'noda monomial - ikkinchi ma'noda monomiyaning alohida holati, bu erda koeffitsient 1 ga teng. Masalan, ushbu izohda ${ displaystyle -7x ^ {5}}$ va ${ displaystyle (3-4i) x ^ {4} yz ^ {13}}$ monomiallar (ikkinchi misolda o'zgaruvchilar ${ displaystyle x, y, z,}$ va koeffitsient a murakkab raqam ).

Kontekstida Laurent polinomlari va Loran seriyasi, monomial ko'rsatkichlar salbiy bo'lishi mumkin, va kontekstida Puiseux seriyasi, eksponentlar bo'lishi mumkin ratsional sonlar.

"Monomial" so'zi, shuningdek "polinomial" so'zi lotincha "binomium" (binomial) so'zidan kelib chiqqanligi sababli, "bi" prefiksini o'zgartirib (lotincha ikkitasi), monomialni nazariy jihatdan "" mononomial ". "Monomial" bu a senkop tomonidan gaplologiya "mononomial".^[1]

Ikki ta'rifni taqqoslash

Ikkala ta'rifga ko'ra, monomiallar to'plami ko'paytirish ostida yopilgan barcha polinomlarning bir qismidir.

Ushbu tushunchaning har ikkala ishlatilishini topish mumkin va ko'p hollarda farq shunchaki e'tiborsiz qoldiriladi, masalan, birinchi misollarga qarang.^[2] va ikkinchi^[3] ma'no. Norasmiy munozaralarda bu farq kamdan-kam hollarda muhim va moyillik kengroq ikkinchi ma'noga to'g'ri keladi. Ammo polinomlarning tuzilishini o'rganayotganda, albatta, birinchi ma'noga ega tushunchaga ehtiyoj bor. Masalan, a monomial asos a polinom halqasi yoki a monomial buyurtma shu asosda. Birinchi ma'no foydasiga argument, shuningdek, ushbu qiymatlarni belgilash uchun boshqa aniq tushunchalar mavjud emas (energiya mahsuloti atamasi, ayniqsa, monomial birinchi ma'no bilan ishlatiladi, lekin u ham konstantalarning yo'qligini aniq qilib ko'rsatmaydi), ko'pburchak tushunchasi atamasi monomialning ikkinchi ma'nosiga to'g'ri keladi.

Ushbu maqolaning qolgan qismi "monomial" ning birinchi ma'nosini anglatadi.

Monomial asos

Monomiallar haqidagi eng aniq haqiqat (birinchi ma'no) - har qanday polinom a chiziqli birikma ulardan, shuning uchun ular a asos ning vektor maydoni deb nomlangan barcha polinomlardan monomial asos - matematikada doimiy ravishda yashirin foydalanish haqiqati.

Raqam

Darajaning monomial soni d yilda n o'zgaruvchilar soni multikombinatsiyalar ning d orasida tanlangan elementlar n o'zgaruvchilar (o'zgaruvchini bir necha marta tanlash mumkin, ammo tartib muhim emas), bu tomonidan berilgan ko'p o'lchovli koeffitsient ${ displaystyle textstyle { left (! ! {n d} ! ! right ni tanlang)}}$ . Ushbu iborani a shaklida ham berish mumkin binomial koeffitsient, kabi polinom ifodasi yilda dyoki a yordamida ko'tarilgan faktorial kuch ning d + 1:

{ displaystyle left (! ! {n d} ! ! right ni tanlang) = { binom {n + d-1} {d}} = { binom {d + (n-1)} {n-1}} = { frac {(d + 1) times (d + 2) times cdots times (d + n-1)} {1 times 2 times cdots times (n -1)}} = { frac {1} {(n-1)!}} (D + 1) ^ { overline {n-1}}.}

Oxirgi shakllar, ayniqsa, o'zgaruvchilar sonini aniqlaganda va darajasi o'zgarishi mumkin bo'lganda foydalidir. Ushbu iboralardan sobit bo'lish uchun buni ko'rish mumkin n, daraja monomiallari soni d in polinom ifodasi d daraja ${ displaystyle n-1}$ etakchi koeffitsient bilan ${ displaystyle { tfrac {1} {(n-1)!}}}$ .

Masalan, uchta o'zgaruvchidagi monomiallar soni ( ${ displaystyle n = 3}$ ) daraja d bu ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} (d + 1) ^ { overline {2}} = textstyle { frac {1} {2}} (d + 1) (d + 2) )}$ ; bu raqamlar 1, 3, 6, 10, 15, ... ning ketma-ketligini tashkil qiladi uchburchak raqamlar.

The Hilbert seriyasi - berilgan darajadagi monomiyalar sonini ifodalashning ixcham usuli: daraja monomiyalar soni $d$ yilda $n$ o'zgaruvchilar daraja koeffitsienti $d$ ning rasmiy quvvat seriyalari kengayishi

{ displaystyle { frac {1} {(1-t) ^ {n}}}.}

Eng yuqori darajadagi monomiallar soni $d$ yilda $n$ o'zgaruvchilar ${ displaystyle { binom {n + d} {n}} = { binom {n + d} {d}}.}$ Bu daraja monomiallari orasidagi birma-bir yozishmalardan kelib chiqadi $d$ yilda $n +1$ o'zgaruvchilar va daraja monomiallari $d$ yilda $n$ o'zgaruvchilar, bu qo'shimcha o'zgaruvchini 1 ga almashtirishdan iborat.

Notation

Monomiallar uchun yozuvlar doimo shunga o'xshash sohalarda talab qilinadi qisman differentsial tenglamalar. Agar ishlatilayotgan o'zgaruvchilar indekslangan oilani tashkil qilsa ${ displaystyle x_ {1}}$ , ${ displaystyle x_ {2}}$ , ${ displaystyle x_ {3}}$ , ..., keyin ko'p indeksli yozuv foydalidir: agar yozsak

{ displaystyle alpha = (a, b, c)}

biz aniqlay olamiz

{ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ {a} , x_ {2} ^ {b} , x_ {3} ^ {c}}

ixchamlik uchun.

Darajasi

Monomial daraja o'zgaruvchilarning barcha ko'rsatkichlari, shu jumladan ko'rsatkichsiz paydo bo'ladigan o'zgaruvchilar uchun 1 ning yopiq ko'rsatkichlari yig'indisi sifatida aniqlanadi; masalan, oldingi bo'lim misolida daraja ${ displaystyle a + b + c}$ . Darajasi ${ displaystyle xyz ^ {2}}$ 1 + 1 + 2 = 4 ga teng. Nolga teng bo'lmagan doimiyning darajasi 0 ga teng. Masalan, -7 darajasi 0 ga teng.

Monomial daraja ba'zida tartib deb ataladi, asosan ketma-ketlikda. Uni o'zgaruvchilardan biridagi darajadan ajratish zarur bo'lganda uni umumiy daraja deb ham atashadi.

Monomial daraja bir o'zgaruvchan va ko'p o'zgaruvchan polinomlar nazariyasining asosidir. Shubhasiz, uni aniqlash uchun ishlatiladi polinomning darajasi va tushunchasi bir hil polinom, shuningdek baholanganlar uchun monomial buyurtmalar shakllantirish va hisoblashda ishlatiladi Gröbner asoslari. Bevosita, a shartlarini guruhlashda foydalaniladi Teylor seriyasi bir nechta o'zgaruvchida.

Geometriya

Yilda algebraik geometriya monomial tenglamalar bilan aniqlangan navlar ${ displaystyle x ^ { alpha} = 0}$ a ning ba'zi to'plamlari uchun bir hillikning o'ziga xos xususiyatlari mavjud. Buni tilida ifodalash mumkin algebraik guruhlar, mavjudligi nuqtai nazaridan a guruh harakati ning algebraik torus (ning multiplikativ guruhi bilan teng ravishda diagonali matritsalar ). Ushbu soha nomi ostida o'rganiladi torus ko'milishlari.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Ingliz tilining Amerika merosi lug'ati, 1969.
^ Koks, Devid; Jon Little; Donal O'Shea (1998). Algebraik geometriyadan foydalanish. Springer Verlag. pp.1. ISBN 0-387-98487-9.
^ "Monomial", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Ingliz tilining Amerika merosi lug'ati, 1969.

[2] Koks, Devid; Jon Little; Donal O'Shea (1998). Algebraik geometriyadan foydalanish. Springer Verlag. pp.1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] "Monomial", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]

[3]

Polinomlar va polinom funktsiyalari
By daraja	Nolinchi polinom (daraja aniqlanmagan yoki -1 yoki −∞) Doimiy funktsiya (0) Lineer funktsiya (1) Lineer tenglama Kvadratik funktsiya (2) Kvadrat tenglama Kubik funktsiya (3) Kub tenglamasi Kvartika funktsiyasi (4) Kvartatik tenglama Kvintik funktsiya (5) Sextik tenglama (6) Septik tenglama (7)
Xususiyatlari bo'yicha	Yagona o'zgaruvchan Ikki xil Ko'p o'zgaruvchan Monomial Binomial Trinomial Qaytarib bo'lmaydigan Kvadratsiz Bir hil Kvazi bir hil
Asboblar va algoritmlar	Faktorizatsiya Eng katta umumiy bo'luvchi Bo'lim Hornerning baholash usuli Natija Diskriminant Gröbner asoslari