Mie-Grünaysen shtati tenglamasi - Mie–Grüneisen equation of state

The Mie-Grünaysen shtati tenglamasi bu davlat tenglamasi bilan bog'liq bosim va hajmi ma'lum bir haroratda qattiq^[1]^[2] Bu bosimni a-da aniqlash uchun ishlatiladi zarba - siqilgan qattiq. Mie-Grüneisen munosabati - bu maxsus shakl Grüneisen modeli kristall panjaraning hajmini o'zgartirish uning tebranish xususiyatlariga ta'sirini tavsiflaydi. Mie-Gruneisen holat tenglamasining bir nechta o'zgarishlari qo'llanilmoqda.

Grüneisen modeli shaklda ifodalanishi mumkin

{displaystyle Gamma = Vleft ({frac {dp} {de}} ight) _ {V}}

qayerda V hajmi, p bosim, e bo'ladi ichki energiya va Γ bu tebranuvchi atomlar to'plamidan issiqlik bosimini ifodalaydigan Grüneisen parametri. Agar biz buni taxmin qilsak Γ dan mustaqildir p va e, biz Grüneisen modelini olish uchun birlashtira olamiz

{displaystyle p-p_ {0} = {frac {Gamma} {V}} (e-e_ {0})}

qayerda p₀ va e₀ mos yozuvlar holatidagi bosim va ichki energiya odatda harorat 0K bo'lgan holat deb qabul qilinadi. Shunday bo'lgan taqdirda p₀ va e₀ haroratga bog'liq emas va bu miqdorlarning qiymatlarini Gugoniot tenglamalari. Mie-Gruneisen holati tenglamasi yuqoridagi tenglamaning maxsus shakli hisoblanadi.

Tarix

Gustav Mie, 1903 yilda qattiq jismlar holatining yuqori haroratli tenglamalarini olish uchun molekulalararo potentsialni ishlab chiqdi.^[3] 1912 yilda, Eduard Grüneisen Mie modelini past haroratgacha kengaytirdi Debye harorati unda kvant effektlari muhim ahamiyat kasb etadi.^[4] Grüneysenning tenglamalar shakli yanada qulayroq va holatning Mie-Grünaysen tenglamalarini chiqarish uchun odatiy boshlanish nuqtasiga aylandi.^[5]

Mie-Gruneisen holati tenglamasining ifodalari

Hisoblash mexanikasida ishlatiladigan haroratni to'g'irlaydigan versiya shaklga ega^[6](Shuningdek qarang,^[7] p. 61)

{displaystyle p = {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} chi left [1- {frac {Gamma _ {0}} {2}}, chi ight]} {left (1-schi ight ) ^ {2}}} + Gamma _ {0} E; quad chi: = 1- {cfrac {ho _ {0}} {ho}}}

qayerda ${displaystyle C_ {0}}$ ovozning asosiy tezligi, ${displaystyle ho _ {0}}$ boshlang'ich zichligi, ${displaystyle ho}$ joriy zichlik, ${displaystyle Gamma _ {0}}$ bu Grunaisenning gama-ga murojaat qilish holatida, ${displaystyle s = dU_ {s} / dU_ {p}}$ chiziqli Gugoniot qiyalik koeffitsienti, ${displaystyle U_ {s}}$ zarba to'lqinining tezligi, ${displaystyle U_ {p}}$ zarracha tezligi va ${displaystyle E}$ bir birlik mos yozuvlar hajmiga to'g'ri keladigan ichki energiya. Muqobil shakl

{displaystyle p = {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} (eta -1) chap [eta - {frac {Gamma _ {0}} {2}} (eta -1) ight]} {left [eta -s (eta -1) ight] ^ {2}}} + Gamma _ {0} E; quad eta: = {cfrac {ho} {ho _ {0}}}}.}

Ichki energiyani taxminiy bahosi yordamida hisoblash mumkin

{displaystyle E = {frac {1} {V_ {0}}} int C_ {v} dTapprox {frac {C_ {v} (T-T_ {0})} {V_ {0}}} = ho _ {0 } c_ {v} (T-T_ {0})}

qayerda ${displaystyle V_ {0}}$ haroratdagi mos yozuvlar hajmi ${displaystyle T = T_ {0}}$ , ${displaystyle C_ {v}}$ bo'ladi issiqlik quvvati va ${displaystyle c_ {v}}$ doimiy hajmdagi solishtirma issiqlik quvvati. Ko'pgina simulyatsiyalarda shunday deb taxmin qilinadi ${displaystyle C_ {p}}$ va ${displaystyle C_ {v}}$ tengdir.

Turli materiallar uchun parametrlar

material	${displaystyle ho _ {0}}$ (kg / m.)³)	${displaystyle c_ {v}}$ (J / kg-K)	${displaystyle C_ {0}}$ (Xonim)	${displaystyle s}$	${displaystyle Gamma _ {0}}$ ( ${displaystyle T$ )	${displaystyle Gamma _ {0}}$ ( ${displaystyle T> = T_ {1}}$ )	${displaystyle T_ {1}}$ (K)
Mis	8960	390	3933 ^[8]	1.5 ^[8]	1.99 ^[9]	2.12 ^[9]	700

Holat tenglamasini chiqarish

Grüneisen modelidan bizda

{displaystyle (1) qquad p-p_ {0} = {frac {Gamma} {V}} (e-e_ {0})}

qayerda p₀ va e₀ mos yozuvlar holatidagi bosim va ichki energiya. The Gugoniot tenglamalari chunki massa, impuls va energiyani saqlash

{displaystyle ho _ {0} U_ {s} = ho (U_ {s} -U_ {p}) ~~, to'rtinchi p_ {H} -p_ {H0} = ho _ {0} U_ {s} U_ {p } quad {ext {and}} quad p_ {H} U_ {p} = ho _ {0} U_ {s} chap ({frac {U_ {p} ^ {2}} {2}} + E_ {H} -E_ {H0} tun)}

qayerda r₀ mos yozuvlar zichligi, r zarba siqilishidan kelib chiqqan zichlik, p_H bu Gugoniotga bosim, E_H bu ichki energiya massa birligiga Gugoniotda, U_s zarba tezligi va U_p zarracha tezligi. Massani saqlashdan bizda

{displaystyle {frac {U_ {p}} {U_ {s}}} = 1- {frac {ho _ {0}} {ho}} = 1- {frac {V} {V_ {0}}} =: chi,.}

Biz aniqlagan joy ${displaystyle V = 1 / ho}$ , o'ziga xos hajm (massa birligi uchun hajm).

Ko'p materiallar uchun U_s va U_p chiziqli bog'liq, ya'ni, U_s = C₀ + s U_p qayerda C₀ va s materialga bog'liq. Bunday holda, bizda bor

{displaystyle U_ {s} = C_ {0} + schi U_ {s} quad {ext {or}} quad U_ {s} = {frac {C_ {0}} {1-schi}}}.}

Keyin momentum tenglamasini yozish mumkin (asosiy Gugoniot uchun qaerda p_H0 nolga teng) kabi

{displaystyle p_ {H} = ho _ {0} chi U_ {s} ^ {2} = {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} chi} {(1-schi) ^ {2} }}.}

Xuddi shunday, bizda mavjud bo'lgan energiya tenglamasidan

{displaystyle p_ {H} chi U_ {s} = {frac {1} {2}} ho chi ^ {2} U_ {s} ^ {3} + ho _ {0} U_ {s} E_ {H} = {frac {1} {2}} p_ {H} chi U_ {s} + ho _ {0} U_ {s} E_ {H} ,.}

Uchun hal qilish e_H, bizda ... bor

{displaystyle E_ {H} = {frac {1} {2}} {frac {p_ {H} chi} {ho _ {0}}} = {frac {1} {2}} p_ {H} (V_ {) 0} -V)}

Uchun bu iboralar bilan p_H va E_H, Gugoniot-dagi Grüneisen modeli bo'ladi

{displaystyle p_ {H} -p_ {0} = {frac {Gamma} {V}} chap ({frac {p_ {H} chi V_ {0}} {2}} - e_ {0} ight) to'rtlik {ext {yoki}} quad {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} chi} {(1-schi) ^ {2}}} chap (1- {frac {chi} {2}}, { frac {Gamma} {V}}, V_ {0} ight) -p_ {0} = - {frac {Gamma} {V}} e_ {0} ,.}

Agar biz buni taxmin qilsak Γ/V = Γ₀/V₀ va e'tibor bering ${displaystyle p_ {0} = - de_ {0} / dV}$ , biz olamiz

{displaystyle (2) qquad {frac {ho C_ {0} ^ {2} chi} {(1-schi) ^ {2}}} chap (1- {frac {Gamma _ {0} chi} {2}} ight) + {frac {de_ {0}} {dV}} + {frac {Gamma _ {0}} {V_ {0}}} e_ {0} = 0 ,.}

Yuqoridagi oddiy differentsial tenglamani echish mumkin e₀ dastlabki shart bilan e₀ = 0 qachon V = V₀ (χ = 0). To'liq echim

{displaystyle {egin {aligned} e_ {0} = {frac {ho C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2s ^ {4}}} {Biggl [} & exp (Gamma _ {0} chi) ({frac {Gamma _ {0}} {s}} - 3) s ^ {2} - {frac {[{frac {Gamma _ {0}} {s}} - (3-schi)] s ^ { 2}} {1-schi}} + & exp chap [- {frac {Gamma _ {0}} {s}} (1-schi) ight] (Gamma _ {0} ^ {2} -4Gamma _ {0) } s + 2s ^ {2}) ({ext {Ei}} [{frac {Gamma _ {0}} {s}} (1-schi)) - {ext {Ei}} [{frac {Gamma _ { 0}} {s}}]) {Biggr]} oxiri {hizalangan}}}

qayerda Ei [z] bo'ladi eksponent integral. Uchun ifoda p₀ bu

{displaystyle {egin {aligned} p_ {0} = - {frac {de_ {0}} {dV}} = {frac {ho C_ {0} ^ {2}} {2s ^ {4} (1-chi) }} {Biggl [} & {frac {s} {(1-schi) ^ {2}}} {Bigl (} -Gamma _ {0} ^ {2} (1-chi) (1-schi) + Gamma _ {0} [s {4 (chi -1) chi s-2chi +3} -1] & - exp (Gamma _ {0} chi) [Gamma _ {0} (chi -1) -1] ( 1-schi) ^ {2} (Gamma _ {0} -3s) + s [3-chi s {(chi -2) s + 4}] {Bigr)} & - exp left [- {frac {Gamma _ {0}} {s}} (1-schi) tun] [Gamma _ {0} (chi -1) -1] (Gamma _ {0} ^ {2} -4Gamma _ {0} s + 2s ^ {2}) ({ext {Ei}} [{frac {Gamma _ {0}} {s}} (1-schi)) - {ext {Ei}} [{frac {Gamma _ {0}} {s }}]) {Biggr]}., Oxiri {hizalangan}}}

Uchastkalar e₀ va p₀ mis funktsiyasi sifatida mis uchun.

Tez-tez uchraydigan siqish muammolari uchun aniq echimga yaqinlashish shaklning quvvat seriyali echimi hisoblanadi

{displaystyle e_ {0} (V) = A + Bchi (V) + Cchi ^ {2} (V) + Dchi ^ {3} (V) + nuqta}

va

{displaystyle p_ {0} (V) = - {frac {de_ {0}} {dV}} = - {frac {de_ {0}} {dchi}}, {frac {dchi} {dV}} = {frac {1} {V_ {0}}}, (B + 2Cchi + 3Dchi ^ {2} + nuqta),}

Grüneysen modeliga almashtirish bizni holatning Mie-Grüneysen tenglamasini beradi

{displaystyle p = {frac {1} {V_ {0}}}, (B + 2Cchi + 3Dchi ^ {2} + nuqta) + {frac {Gamma _ {0}} {V_ {0}}} chap [e - (A + Bchi + Cchi ^ {2} + Dchi ^ {3} + nuqta) ight] ,.}

Agar ichki energiya deb hisoblasak e₀ = 0 qachon V = V₀ (χ = 0) bizda A = 0. Xuddi shunday, agar biz taxmin qilsak p₀ = 0 qachon V = V₀ bizda ... bor B = 0. Keyin holatning Mie-Grüneysen tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

{displaystyle p = {frac {1} {V_ {0}}} chap [2Cchi chap (1- {frac {Gamma _ {0}} {2}} chi ight) + 3Dchi ^ {2} chap (1- { frac {Gamma _ {0}} {3}} chi ight) + nuqta ight] + Gamma _ {0} E}

qayerda E bir birlik mos yozuvlar hajmiga to'g'ri keladigan ichki energiya. Ushbu holat tenglamasining bir nechta shakllari mumkin.

Mis holatining aniq va birinchi tartibli Mie-Grünaysen tenglamasini taqqoslash.

Agar biz birinchi tartibli hadni olsak va uni (2) tenglamaga almashtirsak, uchun echishimiz mumkin C olish uchun; olmoq

{displaystyle C = {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2 (1-schi) ^ {2}}} ,.}

Keyin uchun quyidagi iborani olamiz p :

{displaystyle p = {frac {ho _ {0} C_ {0} ^ {2} chi} {(1-schi) ^ {2}}} chap (1- {frac {Gamma _ {0}} {2} } chi ight) + Gamma _ {0} E,}

Bu holat tez-tez ishlatiladigan birinchi darajali holatning Mie-Grünaysen tenglamasidir^{[iqtibos kerak ]}.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Roberts, J. K., & Miller, A. R. (1954). Issiqlik va termodinamika (4-jild). Interscience Publishers.
^ Burshtein, A. I. (2008). Moddaning termodinamikasi va kinetik nazariyasiga kirish. Vili-VCH.
^ Mie, G. (1903) "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Annalen der Physik 316.8, p. 657-697.
^ Grüneisen, E. (1912). Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Annalen der Physik, 344 (12), 257-306.
^ Lemons, D. S., & Lund, C. M. (1999). Mie-Gruneisen qattiq moddalari, yuqori haroratning termodinamikasi. Amerika fizika jurnali, 67, 1105.
^ Zocher, M.A .; Maudlin, PJ (2000), "Teylor silindrining zarba ma'lumotlari yordamida bir necha qattiqlashuv modellarini baholash", Konferentsiya: BARSELONA (ES), 09/11 / 2000–09 / 14/2000, qo'llaniladigan ilmlar va muhandislikdagi hisoblash usullari, OSTI 764004
^ Uilkins, M.L. (1999), Dinamik hodisalarni kompyuter simulyatsiyasi, olingan 2009-05-12
^ ^a ^b Mitchell, AC; Nellis, VJ (1981), "Alyuminiy, mis va tantalning zarbali siqilishi", Amaliy fizika jurnali, 52 (5): 3363, Bibcode:1981JAP .... 52.3363M, doi:10.1063/1.329160, dan arxivlangan asl nusxasi 2013-02-23, olingan 2009-05-12
^ ^a ^b Makdonald, RA .; Makdonald, VM (1981), "Fcc metallarning yuqori haroratda termodinamik xususiyatlari", Jismoniy sharh B, 24 (4): 1715–1724, Bibcode:1981PhRvB..24.1715M, doi:10.1103 / PhysRevB.24.1715

[roberts-1] Roberts, J. K., & Miller, A. R. (1954). Issiqlik va termodinamika (4-jild). Interscience Publishers.

[bursh-2] Burshtein, A. I. (2008). Moddaning termodinamikasi va kinetik nazariyasiga kirish. Vili-VCH.

[mie-3] Mie, G. (1903) "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Annalen der Physik 316.8, p. 657-697.

[grun-4] Grüneisen, E. (1912). Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Annalen der Physik, 344 (12), 257-306.

[lemons-5] Lemons, D. S., & Lund, C. M. (1999). Mie-Gruneisen qattiq moddalari, yuqori haroratning termodinamikasi. Amerika fizika jurnali, 67, 1105.

[6] Zocher, M.A .; Maudlin, PJ (2000), "Teylor silindrining zarba ma'lumotlari yordamida bir necha qattiqlashuv modellarini baholash", Konferentsiya: BARSELONA (ES), 09/11 / 2000–09 / 14/2000, qo'llaniladigan ilmlar va muhandislikdagi hisoblash usullari, OSTI 764004

[Wilkins1999-7] Uilkins, M.L. (1999), Dinamik hodisalarni kompyuter simulyatsiyasi, olingan 2009-05-12

[Mitchell-8] Mitchell, AC; Nellis, VJ (1981), "Alyuminiy, mis va tantalning zarbali siqilishi", Amaliy fizika jurnali, 52 (5): 3363, Bibcode:1981JAP .... 52.3363M, doi:10.1063/1.329160, dan arxivlangan asl nusxasi 2013-02-23, olingan 2009-05-12

[MacDonald-9] Makdonald, RA .; Makdonald, VM (1981), "Fcc metallarning yuqori haroratda termodinamik xususiyatlari", Jismoniy sharh B, 24 (4): 1715–1724, Bibcode:1981PhRvB..24.1715M, doi:10.1103 / PhysRevB.24.1715

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]