Midis teoremasi - Midys theorem - Wikipedia

Yilda matematika, Midi teoremasinomi bilan nomlangan Frantsuz matematik E. Midi,[1][2] haqida bayonot o'nlik kengayish ning kasrlar a/p qayerda p a asosiy va a/p bor o'nli kasrni takrorlash bilan kengaytirish hatto davr (ketma-ketlik) A028416 ichida OEIS ). Agar o'nli kasrni ko'rsatish davri bo'lsa a/p 2.n, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

u holda takrorlanadigan o'nlik davrning ikkinchi yarmidagi raqamlar 9s komplement birinchi yarmidagi tegishli raqamlardan. Boshqa so'zlar bilan aytganda,

Masalan,

Kengaytirilgan Midi teoremasi

Agar k ning o‘nli kengayish davrining har qanday bo‘linuvchisidir a/p (qayerda p yana asosiy), keyin Midi teoremasini quyidagicha umumlashtirish mumkin. The Midi teoremasini kengaytirdi[3] ning o'nli kengayishining takrorlanadigan qismi a/p ga bo'linadi k- raqamli raqamlar, keyin ularning yig'indisi 10 ga ko'paytiriladik − 1.

Masalan,

davri 18 ga teng. Takrorlanadigan qismni 6 xonali sonlarga bo'lish va ularni yig'ish natijasida hosil bo'ladi

Xuddi shunday, takrorlanadigan qismni 3 xonali sonlarga bo'lish va ularni yig'ish ham beradi

Midi teoremasi boshqa asoslarda

Midi teoremasi va uning kengaytmasi o'nlik kengayishning maxsus xususiyatlariga bog'liq emas, lekin har qanday holatda ham bir xil darajada ishlaydi tayanch b, agar biz 10-ni almashtirsakk - 1 bilan bk - 1 va bazada qo'shishni amalga oshiring b.

Masalan, ichida sakkizli

Yilda o'n ikki sonli (teskari ikki va uchdan o'n va o'n birdan foydalanib)

Midi teoremasining isboti

Midi teoremasining qisqa dalillarini natijalar yordamida keltirish mumkin guruh nazariyasi. Biroq, Midi teoremasidan foydalangan holda isbotlash ham mumkin elementar algebra va modulli arifmetik:

Ruxsat bering p bosh va bo'lishi a/p 0 va 1 orasidagi kasr bo'lsin. ning kengayishini taxmin qilaylik a/p bazada b davri bor , shuning uchun

qayerda N bu bazaning kengayishi bo'lgan butun son b bu ip a1a2...a.

Yozib oling b  - 1 ning ko'paytmasi p chunki (b  − 1)a/p butun son Shuningdek bn$ -1 $ emas ning ko'paytmasi p ning har qanday qiymati uchun n dan kam , chunki aks holda takrorlanadigan davri a/p bazada b dan kam bo'lar edi .

Endi shunday deb taxmin qiling  = hk. Keyin b  - 1 ning ko'paytmasi bk - 1. (Buni ko'rish uchun almashtiring x uchun bk; keyin b = xh va x - 1 omil xh - 1.) Ayting b  − 1 = m(bk - 1), shuning uchun

Ammo b  - 1 ning ko'paytmasi p; bk - 1 emas ning ko'paytmasi p (chunki k dan kam ); va p asosiy hisoblanadi; shunday m ning ko'paytmasi bo'lishi kerak p va

butun son Boshqa so'zlar bilan aytganda,

Endi ipni ajrating a1a2...a ichiga h uzunlikning teng qismlari kva bular butun sonlarni ifodalasin N0...Nh − 1 bazada b, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

Midining kengaytirilgan teoremasini asosda isbotlash b ning yig‘indisi ekanligini ko‘rsatishimiz kerak h butun sonlar Nmen ning ko'paytmasi bk − 1.

Beri bk 1 modulga mos keladi bk - 1, ning har qanday kuchi bk shuningdek, 1 modulga mos keladi bk - Shunday qilib

bu Midining kengaytirilgan teoremasini asosda isbotlaydi b.

Midiy teoremasining asl nusxasini isbotlash uchun qaerda bo'lgan maxsus ishni oling h = 2. Shunga e'tibor bering N0 va N1 ikkalasi ham satrlari bilan ifodalanadi k bazadagi raqamlar b shuning uchun ikkalasi ham qondirishadi

N0 va N1 ikkalasi ham 0 ga teng bo'lolmaydi (aks holda a/p = 0) va ikkalasi ham teng bo'lolmaydi bk - 1 (aks holda a/p = 1), shuning uchun

va beri N0 + N1 ning ko'paytmasi bk - 1, bundan kelib chiqadi

Xulosa

Yuqoridagilardan,

butun son

Shunday qilib

Va shunday qilib

Uchun va butun son

va hokazo.

Izohlar

  1. ^ Leavitt, Uilyam G. (1967 yil iyun). "O'nliklarni takrorlash haqidagi teorema". Amerika matematikasi oyligi. Amerika matematik assotsiatsiyasi. 74 (6): 669–673. doi:10.2307/2314251.
  2. ^ Kemeny, Jon. "M. E. Midining maxfiy teoremasi = To'qqizinchi kasting". Olingan 27 noyabr 2011.
  3. ^ Bassam Abdul-Baki, Kengaytirilgan Midi teoremasi, 2005.

Adabiyotlar

  • Rademacher, H. va Toeplitz, O. Matematikadan zavqlanish: havaskorlar uchun matematikadan tanlovlar. Princeton, NJ: Princeton University Press, 158-160 bet, 1957.
  • E. Midi, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fraction Décimales Périodiques". Nant kolleji, Frantsiya: 1836 yil.
  • Ross, Kennet A. "Takroriy o'nlik: nuqta bo'lagi". Matematika. Mag. 83 (2010), yo'q. 1, 33-45.

Tashqi havolalar