Logaritmik integral funktsiyasi - Logarithmic integral function - Wikipedia

Yilda matematika, logarifmik integral funktsiyasi yoki integral logaritma li (x) a maxsus funktsiya. Bu muammolarda dolzarbdir fizika va bor raqamlar nazariyasi ahamiyati. Xususan, Zigel-Valfis teoremasi bu juda yaxshi taxminiy uchun asosiy hisoblash funktsiyasi, soni sifatida aniqlanadi tub sonlar berilgan qiymatdan kam yoki unga teng .

Logaritmik integral funktsiya chizmasi

Integral vakillik

Logaritmik integral hamma ijobiy uchun aniqlangan integral tasvirga ega haqiqiy raqamlar x ≠ 1 tomonidan aniq integral

Bu yerda, ln belgisini bildiradi tabiiy logaritma. Funktsiya 1 / (ln t) bor o'ziga xoslik da t = 1va uchun integral x > 1 deb talqin etiladi Koshining asosiy qiymati,

Logaritmik integralni ofset

The logaritmik integral yoki Eulerian logaritmik integral sifatida belgilanadi

Shunday qilib, integral vakolatning integratsiya sohasidagi o'ziga xoslikdan qochish afzalligi bor.

Maxsus qadriyatlar

Funktsiya li (x) bitta musbat nolga ega; u sodir bo'ladi x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEISA070769; bu raqam Ramanujan - Soldner doimiy.

ILi (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEISA069284

Bu qayerda bo'ladi to'liq bo'lmagan gamma funktsiyasi. Buni tushunish kerak Koshining asosiy qiymati funktsiyasi.

Seriyani namoyish qilish

Funktsiya li (x) bilan bog'liq eksponent integral Ei (x) tenglama orqali

uchun amal qiladi x > 0. Ushbu identifikator li ((x) kabi

qaerda γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEISA001620 bo'ladi Eyler-Maskeroni doimiysi. Tomonidan tezroq yaqinlashuvchi qator Ramanujan [1] bu

Asimptotik kengayish

Uchun asimptotik xatti-harakatlar x → ∞ bo'ladi

qayerda bo'ladi katta O yozuvlari. To'liq asimptotik kengayish bu

yoki

Bu quyidagi aniqroq asimptotik xatti-harakatni beradi:

Asimptotik kengayish sifatida ushbu seriya yaqinlashuvchi emas: agar bu ketma-ketlik sonli sonli atamada qisqartirilgan bo'lsa va faqat katta qiymatlar bo'lsa x ish bilan ta'minlangan. Ushbu kengayish to'g'ridan-to'g'ri uchun asimptotik kengayishdan kelib chiqadi eksponent integral.

Bu shuni anglatadiki, masalan. li ni quyidagi shaklda ushlashimiz mumkin:

Barcha uchun .

Sonlarning nazariy ahamiyati

Logaritmik integral muhim ahamiyatga ega sonlar nazariyasi, sonining taxminlarida paydo bo'ladi tub sonlar berilgan qiymatdan kam. Masalan, asosiy sonlar teoremasi quyidagilarni ta'kidlaydi:

qayerda dan kichik yoki unga teng sonlar sonini bildiradi .

Faraz qilsak Riman gipotezasi, biz yanada kuchliroq bo'lamiz:[2]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Vayshteyn, Erik V. "Logaritmik integral". MathWorld.
  2. ^ Abramovits va Stegun, p. 230, 5.1.20