Jakobi - G'azabning kengayishi - Jacobi–Anger expansion

Yilda matematika, Jakobi - G'azabning kengayishi (yoki Jakobi - G'azabning o'ziga xosligi) ning eksponentlarining kengayishi trigonometrik funktsiyalar ularning harmonikalari asosida. Bu fizikada foydalidir (masalan, ga aylantirish o'rtasida tekislik to'lqinlari va silindrsimon to'lqinlar ) va signallarni qayta ishlash (tasvirlash uchun FM signallari). Ushbu shaxsiyat 19-asr matematiklari nomi bilan atalgan Karl Jakobi va Karl Teodor g'azabi.

Eng umumiy identifikator:^[1][2]

${ displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} i ^ {n} , J_ {n} (z) , e ^ {in teta},}$

qayerda ${ displaystyle J_ {n} (z)}$ bo'ladi ${ displaystyle n}$-chi Birinchi turdagi Bessel funktsiyasi va ${ displaystyle i}$ bo'ladi xayoliy birlik, ${ textstyle i ^ {2} = - 1.}$ O'zgartirish ${ textstyle theta}$ tomonidan ${ textstyle theta - { frac { pi} {2}}}$, biz ham olamiz:

${ displaystyle e ^ {iz sin theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} J_ {n} (z) , e ^ {in theta}.}$

Aloqadan foydalanish ${ displaystyle J _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n} , J_ {n} (z),}$ butun son uchun amal qiladi ${ displaystyle n}$, kengayish quyidagicha bo'ladi:^[1][2]

${ displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv J_ {0} (z) , + , 2 , sum _ {n = 1} ^ { infty} , i ^ {n} , J_ {n} (z) , cos , (n theta).}$

Haqiqiy qiymatli iboralar

Quyidagi haqiqiy qiymatlar ko'pincha foydali bo'ladi:^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} cos (z cos theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n } J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z cos theta) & equiv -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} J_ {2n-1} (z) cos chap [ chap (2n-1 o'ng) theta o'ng], cos (z sin theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z sin theta) & equiv 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n-1} (z) sin left [ chap (2n-1 right) theta right]. end {hizalangan}}}$

Shuningdek qarang

• Samolyot to'lqinlarining kengayishi

Izohlar

Adabiyotlar

• Abramovits, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [1964 yil iyun]. "9-bob". Matematik funktsiyalar uchun formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan qo'llanma. Amaliy matematika seriyasi. 55 (To'qqizinchi o'ninchi asl nashrning tuzatishlar bilan qo'shimcha tuzatishlar bilan qayta nashr etilishi (1972 yil dekabr); birinchi nashr). Vashington Kolumbiyasi; Nyu-York: Amerika Qo'shma Shtatlari Savdo vazirligi, Milliy standartlar byurosi; Dover nashrlari. p. 355. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. JANOB  0167642. LCCN  65-12253.
• Kolton, Devid; Kress, Rainer (1998), Teskari akustik va elektromagnit tarqalish nazariyasi, Amaliy matematika fanlari, 93 (2-nashr), ISBN  978-3-540-62838-5
• Kuyt, Enni; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigit; Vaadeland, Xakon; Jons, Uilyam B. (2008), Maxsus funktsiyalar uchun davomli kasrlar bo'yicha qo'llanma, Springer, ISBN  978-1-4020-6948-2

Tashqi havolalar

• Vayshteyn, Erik V. "Jacobi-G'azabning kengayishi". MathWorld - Wolfram veb-resursi. Olingan 2008-11-11.