Infinity-Borel to'plami - Infinity-Borel set

Yilda to'plam nazariyasi, a Polsha kosmik ${ displaystyle X}$ bu B-Borel agar uni boshlash bilan olish mumkin bo'lsa ochiq pastki to'plamlar ning ${ displaystyle X}$va cheksiz takrorlanadigan operatsiyalari to'ldirish va yaxshi tartibda birlashma. E'tibor bering, b-Borel to'plamlari to'g'ri kelishilgan holda yopilmasligi mumkin; pastga qarang.

Rasmiy ta'rif

Rasmiyroq: biz bir vaqtning o'zida belgilaymiz transfinite rekursiya tushunchasi ∞-Borel kodiva of sharhlash bunday kodlarning. Beri ${ displaystyle X}$ polyakcha, u a hisoblanadigan tayanch. Ruxsat bering ${ displaystyle left langle { mathcal {N}} _ {i} | i < omega right rangle}$ ushbu bazani sanab chiqing (ya'ni, ${ displaystyle { mathcal {N}} _ {i}}$ bo'ladi ${ displaystyle i ^ { mathrm {th}}}$ asosiy ochiq to'plam). Endi:

• Har bir tabiiy son ${ displaystyle i}$ ∞-Borel kodidir. Uning talqini ${ displaystyle { mathcal {N}} _ {i}}$.
• Agar ${ displaystyle c}$ talqin qilingan ∞-Borel kodidir ${ displaystyle A_ {c}}$, keyin buyurtma qilingan juftlik ${ displaystyle left langle 0, c right rangle}$ shuningdek, ∞-Borel kodidir va uning talqini quyidagilarni to'ldiradi ${ displaystyle A_ {c}}$, anavi, ${ displaystyle X setminus A_ {c}}$.
• Agar ${ displaystyle { vec {c}}}$ uzunligi a ga teng ketma-ketlik ba'zi uchun b-Borel kodlari tartibli a (ya'ni har bir β ${ displaystyle c _ { beta}}$ ∞-Borel kodi, deyish bilan izohlang ${ displaystyle A_ {c _ { beta}}}$), keyin buyurtma qilingan juftlik ${ displaystyle left langle 1, { vec {c}} right rangle}$ ∞-Borel kodidir va uning talqini quyidagicha ${ displaystyle bigcup _ { beta < alpha} A_ {c _ { beta}}}$.

Endi to'plam some-Borel, agar u ba'zi bir ∞-Borel kodlarining talqini bo'lsa.

The tanlov aksiomasi shuni anglatadiki har bir to'plamni oldindan buyurtma qilish mumkin, shuning uchun har bir Polsha makonining har bir kichik qismi ∞-Borel. Shuning uchun, tushuncha faqat o'zgaruvchan tokni tutmaydigan (yoki ushlab turishi ma'lum bo'lmagan) sharoitlarda qiziqarli bo'ladi. Afsuski, tanlov aksiomasisiz, b-Borel to'plamlari aniq emas bor kelishilgan ittifoq ostida yopilgan. Buning sababi shundaki, b-Borel to'plamlarining kelishilgan birlashuvi hisobga olingan holda, har bir alohida to'plamga ega bo'lishi mumkin ko'p ∞-Borel kodlari va har bir to'plam uchun bitta kodni tanlashning iloji bo'lmasligi mumkin, shu bilan birlashma kodini shakllantiradi.

Har bir reallik to'plami ∞-Borelning bir qismidir AD +, kengaytmasi qat'iyatlilik aksiomasi tomonidan o'rganilgan Yog'och.

Noto'g'ri ta'rif

Ushbu maqolaning yuqori qismidagi norasmiy tavsifni o'qish juda jozibali, chunki b-Borel to'plamlari eng kichik kichik qismidir ${ displaystyle X}$ barcha ochiq to'plamlarni o'z ichiga olgan va komplementatsiya va kelishilgan birlashma ostida yopilgan. Ya'ni, ∞-Borel kodlaridan butunlay voz kechishni va quyidagi ta'rifni sinab ko'rishni istash mumkin:

Har bir tartibli a uchun transfinite rekursiya bilan B aniqlanadi_a quyidagicha:

1. B₀ barchaning to'plamidir ochiq pastki to'plamlar ning ${ displaystyle X}$.
2. Berilgan uchun hatto tartibli a, B_{a + 1} B ning birlashmasi_a barchasi to'plami bilan qo'shimchalar B to'plamlari_a.
3. Berilgan juft tartibli a uchun B_{a + 2} barchaning to'plamidir yaxshi tartibda kasaba uyushmalari B to'plamlari_{a + 1}.
4. Berilgan uchun chegara tartib λ, B_λ barcha B ning birlashmasi_a a

Dan kelib chiqadi Burali-Forti paradoksi B ga teng keladigan ba'zi bir tartibli a bo'lishi kerak_β B ga teng_a har bir β> a uchun. A, B ning bu qiymati uchun_a "∞-Borel to'plamlari" to'plamidir.

Ushbu to'plam yaxshi buyurtma qilingan birlashmalar ostida aniq yopilgan, ammo o'zgaruvchan toksiz uni b-Borel to'plamlariga teng isbotlash mumkin emas (oldingi bobda ta'riflanganidek). Xususan, uning o'rniga b-Borel to'plamlarini yopish kerak barchasi tartibli kasaba uyushmalari, hattoki ular uchun kodlarni tanlash mumkin emas.

Muqobil tavsif