Evklid-Mullin ketma-ketligi - Euclid–Mullin sequence

The Evklid-Mullin ketma-ketligi aniq cheksiz ketma-ketlikdir tub sonlar, unda har bir element eng kichik hisoblanadi asosiy omil bitta ortiqcha barcha oldingi elementlarning hosilasi. Ular qadimgi yunon matematikasi nomi bilan atalgan Evklid, chunki ularning ta'rifi g'oyaga asoslanadi Evklidning cheksiz sonlar borligiga isboti va undan keyin Albert A. Mullin, 1963 yilda ketma-ketlik haqida kim so'radi.[1]

Ketma-ketlikning dastlabki 51 ta elementi quyidagilardir

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211 ... (ketma-ketlik A000945 ichida OEIS )

Bular 2012 yil sentyabr holatiga ko'ra ma'lum bo'lgan yagona element. Keyingisini topish uchun 335 xonali sonning eng kichik asosiy omilini topish kerak (bu ma'lum bo'lgan kompozit ).

Ta'rif

The ketma-ketlikning elementi, , ning eng kichik asosiy omili

Shuning uchun birinchi element - ning eng kichik asosiy omili bo'sh mahsulot plyus bitta, ya'ni 2. Uchinchi element (2 × 3) + 1 = 7. Yaxshi tasvir - ketma-ketlikning beshinchi elementi, 13. Bu (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = bilan hisoblanadi 1806 + 1 = 1807, ikkita oddiy sonning ko'paytmasi, 13 × 139. Ushbu ikkita asosiy sonning 13 tasi eng kichik va shuning uchun ketma-ketlikka kiritilgan. Xuddi shunday 5-ettinchi element (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1,244,335 natijalari bo'lib, ularning asosiy omillari 5 va 248,867 ga teng. Ushbu misollar nima uchun ketma-ketlik juda katta sonlardan juda kichik sonlarga sakrab o'tishini ko'rsatib beradi.

Xususiyatlari

Ketma-ketlik cheksiz uzun va takrorlanadigan elementlarni o'z ichiga olmaydi. Usuli yordamida buni isbotlash mumkin Evklid buni isboti cheksiz sonlar mavjud. Bu dalil konstruktiv va ketma-ketlik ushbu qurilish versiyasini bajarish natijasidir.

Gumon

Savol, Veb Fundamentals.svgMatematikada hal qilinmagan muammo:
Har bir tub son Evklid-Mullin ketma-ketligida paydo bo'ladimi?
(matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

Mullin (1963) har bir tub son Evklid-Mullin ketma-ketligida paydo bo'ladimi yoki yo'q bo'lsa, berilgan tublikni ketma-ketlikka a'zo bo'lish uchun sinash muammosi hisoblash mumkin. Daniel Shanks  (1991 ) evristik taxminlarga asoslanib, tub sonlarning taqsimlanishi tasodifiy, har bir tub son ketma-ketlikda paydo bo'ladi.[2]Biroq, boshqa domenlarga nisbatan o'xshash rekursiv ketma-ketliklar barcha tub sonlarni o'z ichiga olmaydi,[3]bu muammolar ikkalasi ham Evklid-Mullin asl navbati uchun ochiq bo'lib qolmoqda.[4] Ketma-ketlikning elementi ekanligi ma'lum bo'lmagan eng kichik son 41 ga teng.

2 dan 97 gacha bo'lgan tub sonlarning pozitsiyalari:

2: 1, 3: 2, 5: 7, 7: 3, 11:12, 13: 5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41: ?, 43: 4, 47:?, 53: 6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 ( ketma-ketlik A056756 ichida OEIS )

qayerda? pozitsiyasi (yoki umuman mavjud bo'ladimi) 2012 yilgacha noma'lumligini ko'rsatadi.[5]

Tegishli ketma-ketliklar

Birining eng katta asosiy faktori bilan oldingi sonlarning ko'paytmasi (eng kichik asosiy omil o'rniga) bilan aniqlangan raqamlarning ketma-ketligi, shuningdek, Evklid-Mullin ketma-ketligi deb ham ataladi. U tezroq o'sadi, lekin monotonik emas.[6] Ushbu ketma-ketlikdagi raqamlar

2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371,… (ketma-ketlik) A000946 ichida OEIS ).

Ushbu ketma-ketlikda har bir asosiy raqam paydo bo'lmaydi,[7] va yo'qolgan tub sonlarning ketma-ketligi,

5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ... (ketma-ketlik) A216227 ichida OEIS )

cheksiz ekanligi isbotlangan.[8][9]

Evklid-Mullin ketma-ketligining o'zgartirilgan versiyalarini har qadamda eng kichik bosh omilni tanlashning bir xil qoidasidan foydalangan holda yaratish mumkin, lekin 2 dan boshqacha tubdan boshlanadi.[10]

Shu bilan bir qatorda, har bir raqamni bitta raqamga qo'shib, oldingi raqamlarning ko'paytmasi (faktoring o'rniga) beradi Silvestrning ketma-ketligi. Oldingi sonlarning ko'paytmasi va birining barcha omillarini qayta-qayta qo'shib tuzilgan ketma-ketlik Silvestr ketma-ketligining asosiy omillari ketma-ketligi bilan bir xil. Evklid-Mullin ketma-ketligi singari, bu monotonik bo'lmagan oddiy sonlar ketma-ketligi, ammo barcha tub sonlarni o'z ichiga olmaydi.[11]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Mullin, Albert A. (1963), "Rekursiv funktsiyalar nazariyasi (Evklid g'oyasiga zamonaviy ko'rinish)", Tadqiqot muammolari, Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi, 69 (6): 737, doi:10.1090 / S0002-9904-1963-11017-4.
  2. ^ Shanks, Daniel (1991), "Evklidning asosiy bosqichlari", Kombinatorika instituti byulleteni va uning qo'llanmalari, 1: 33–36, JANOB  1103634.
  3. ^ Kurokava, Nobushige; Satoh, Takakazu (2008), "Noyob faktorizatsiya domenlari bo'yicha evklidlarning asosiy ketma-ketliklari", Eksperimental matematika, 17 (2): 145–152, JANOB  2433881.
  4. ^ Booker, Endryu R. (2016), "Evklid-Mullin ketma-ketligining har bir asosiy tarkibiga kiruvchi varianti", Butun sonli ketma-ketliklar jurnali, 19 (6): 16.6.4, 6-modda, JANOB  3546618.
  5. ^ Savol belgilariga ega bo'lgan ro'yxat OEIS yozuvining kengaytmalari maydonida berilgan, asosiy ro'yxat 33 da to'xtaydi va savol belgilariga ega emas.
  6. ^ Naur, Thorkil (1984), "Mullinning asosiy sonlar ketma-ketligi bir xil emas", Amerika matematik jamiyati materiallari, 90 (1): 43–44, doi:10.2307/2044665, JANOB  0722412.
  7. ^ Koks, C. D .; Van der Puorten, A. J. (1968), "Bosh sonlar ketma-ketligi to'g'risida", Avstraliya matematik jamiyati, 8: 571–574, JANOB  0228417
  8. ^ Booker, Endryu R. (2012), "Mullinning ikkinchi sonli ketma-ketligi to'g'risida", Butun sonlar, 12 (6): 1167–1177, arXiv:1107.3318, doi:10.1515 / inteers-2012-0034, JANOB  3011555.
  9. ^ Pollack, Pol; Treviño, Enrike (2014), "Evklid unutgan asosiy narsalar", Amerika matematik oyligi, 121 (5): 433–437, doi:10.4169 / amer.math.monthly.121.05.433, JANOB  3193727.
  10. ^ Sheppard, Barnabi (2014), Cheksizlikning mantiqi, Kembrij universiteti matbuoti, p. 26, ISBN  9781139952774
  11. ^ Yigit, Richard; Nowakovski, Richard (1975), "Evklid bilan asoslarni aniqlash", Delta (Vaukesha), 5 (2): 49–63, JANOB  0384675.

Tashqi havolalar