Dold-Kan yozishmalari - Dold–Kan correspondence - Wikipedia

Matematikada, aniqrog'i, nazariyasida sodda to'plamlar, Dold-Kan yozishmalari (nomi bilan Albrecht Dold va Daniel Kan ) davlatlar^[1] (manfiy baholanmagan) toifasi o'rtasida ekvivalentlik mavjudligini zanjirli komplekslar va toifasi oddiy abeliya guruhlari. Bundan tashqari, ekvivalentlik ostida ${ displaystyle n}$zanjirli kompleksning homologik guruhi ${ displaystyle n}$mos keladigan sodda abelian guruhining homotopiya guruhi va a zanjirli homotopiya a ga to'g'ri keladi soddalashtirilgan homotopiya. (Aslida, yozishmalar tegishli standartni saqlaydi namunaviy tuzilmalar.)

Misol: Ruxsat bering C abeliya guruhiga ega bo'lgan zanjir kompleksi bo'ling A daraja bo'yicha n va boshqa darajalarda nol. Unda mos keladigan soddalashtirilgan guruh Eilenberg - MacLane maydoni ${ displaystyle K (A, n)}$.

Bundan tashqari ∞-toifasi -Dold-Kan yozishmalarini o'zgartirish.^[2]

Quyida keltirilgan "Nonabelian algebraic topology" kitobida 14.8-bo'lim mavjud kubik Dold-Kan teoremasining versiyalari va ularni kubikli omega-grupoidlar va kesishgan komplekslar o'rtasidagi toifalarning avvalgi ekvivalenti bilan bog'laydi, bu ushbu kitobning ishi uchun juda muhimdir.

Batafsil qurilish

Soddalashtirilgan abeliya guruhlari va zanjirli komplekslar o'rtasidagi Dold-Kan yozishmasi aniq birikma orqali tuzilishi mumkin. funktsiyalar^[1]149-bet. Birinchi funktsiya normallashtirilgan zanjirli kompleks funktsiyadir

${ displaystyle N: s { textbf {Ab}} to { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$

va ikkinchi funktsiya - bu "soddalashtirish" funktsiyasi

${ displaystyle Gamma: { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}}) to s { textbf {Ab}}}$

zanjir kompleksidan oddiy abeliya guruhini qurish.

Normallashtirilgan zanjir kompleksi

Soddalashtirilgan abeliya guruhi berilgan ${ displaystyle A _ { bullet} in { text {Ob}} ({ text {s}} { textbf {Ab}})}$ zanjir majmuasi mavjud ${ displaystyle NA _ { bullet}}$ deb nomlangan normallashtirilgan zanjir kompleksi shartlar bilan

${ displaystyle NA_ {n} = bigcap _ {i = 0} ^ {n-1} ker (d_ {i}) subset A_ {n}}$

va tomonidan berilgan differentsiallar

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1}}$

Ushbu farqlar yaxshi aniqlanganligi sababli sodda identifikator

${ displaystyle d_ {i} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {i}: A_ {n} dan A_ {n-2}} gacha$

tasvirini ko'rsatib ${ displaystyle d_ {n}: NA_ {n} dan A_ {n-1}} gacha$ har birining yadrosida ${ displaystyle d_ {i}: NA_ {n-1} dan NA_ {n-2}} gacha$. Buning ta'rifi, chunki ${ displaystyle NA_ {n}}$ beradi ${ displaystyle d_ {i} (NA_ {n}) = 0}$.Endi ushbu differentsiallarni tuzish kommutativ diagramma beradi

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1} xrightarrow {(-1) ^ {n-1} d_ {n-1}} NA_ {n-2}}$

va kompozitsiya xaritasi ${ displaystyle (-1) ^ {n} (- 1) ^ {n-1} d_ {n-1} circ d_ {n}}$. Ushbu kompozitsiya nol xaritadir, chunki sodda identifikator

${ displaystyle d_ {n-1} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {n-1}}$

va qo'shilish ${ displaystyle { text {Im}} (d_ {n}) subset NA_ {n-1}}$, shuning uchun normallashtirilgan zanjir kompleksi zanjir kompleksidir ${ displaystyle { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$. Soddalashtirilgan abeliya guruhi funktsiyadir

${ displaystyle A _ { bullet}: { text {Ord}} to { textbf {Ab}}}$

va morfizmlar ${ displaystyle A _ { bullet} to B _ { bullet}}$ sodda identifikatorlarning xaritalari hanuzgacha saqlanib turadigan tabiiy o'zgarishlarga berilgan, normallashtirilgan zanjir kompleks konstruktsiyasi funktsionaldir.

Adabiyotlar

• Goerss, Pol G.; Jardin, Jon F. (1999). Sodda gomotopiya nazariyasi. Matematikadagi taraqqiyot. 174. Bazel, Boston, Berlin: Birkxauzer. ISBN  978-3-7643-6064-1.
• J. Lurie, Oliy algebra, so'nggi yangilangan avgust 2017 yil
• Metyu, Axil. "Dold-Kan yozishmalari" (PDF).
• Braun, Ronald; Xiggins, Filipp J.; Sivera, Rafael (2011). Nonabelian algebraik topologiya: filtrlangan bo'shliqlar, kesishgan komplekslar, kubik homotopiya grupoidlari. Matematikadan risolalar. 15. Tsyurix: Evropa matematik jamiyati. ISBN  978-3-03719-083-8.

Qo'shimcha o'qish

• Jeykob Lurie, DAG-I

Tashqi havolalar

• Dold-Kan yozishmalari yilda nLab

Bu toifalar nazariyasi bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.