Chiziqli algebraik guruh bo'yicha taqsimlash - Distribution on a linear algebraic group

Algebraik geometriyada a berilgan chiziqli algebraik guruh G maydon ustida k, a tarqatish uning ustida chiziqli funktsional mavjud ${ displaystyle k [G] dan k} gacha$ ba'zi bir qo'llab-quvvatlash shartlarini qondirish. A konversiya taqsimot yana tarqatish hisoblanadi va shu bilan ular hosil bo'ladi Hopf algebra kuni G, Dist bilan belgilanadi (GLie algebrasini o'z ichiga olgan Lie (G) bilan bog'liq G. Xarakterli nol maydonida Kartier teoremasi Dist (G) uchun izomorfik universal qoplovchi algebra ning algebrasi G va shu bilan qurilish yangi ma'lumot bermaydi. Ijobiy xarakterli holatda, algebra ning o'rnini bosuvchi sifatida ishlatilishi mumkin Yolg'on guruhi - Yolg'on algebra yozishmalari va uning algebraik guruhlar uchun xarakteristikasi noldagi varianti; Masalan, ushbu yondashuv (Jantsen 1987 yil ).

Qurilish

Chiziqli algebraik guruhning Lie algebrasi

Ruxsat bering k algebraik yopiq maydon bo'ling va G a chiziqli algebraik guruh (ya'ni afine algebraik guruhi) tugadi k. Ta'rifga ko'ra, Yolg'on (G) ning barcha hosilalarining Lie algebrasi k[G] ning chap harakati bilan qatnov G. Lie guruhi ishida bo'lgani kabi, uni teginish maydoni bilan aniqlash mumkin G hisobga olish elementida.

Algebra bilan o'ralgan

Hopf algebra uchun quyidagi umumiy qurilish mavjud. Ruxsat bering A Hopf algebra bo'lishi. The cheklangan dual ning A chiziqli funktsionallarning bo'sh joyidir A sonli o'lchovlarning chap ideallarini o'z ichiga olgan yadrolari bilan. Konkret ravishda, uni matritsa koeffitsientlari maydoni sifatida qarash mumkin.

Yolg'on algebra guruhi

Algebraik guruh bo'yicha taqsimotlar

Ta'rif

Ruxsat bering X = Spec A maydon bo'yicha afine sxemasi bo'ling k va ruxsat bering Men_x cheklash xaritasining yadrosi bo'ling ${ displaystyle A to k (x)}$ , ning qoldiq maydoni x. Ta'rifga ko'ra, a tarqatish f da qo'llab-quvvatlanadi x"a k- chiziqli funktsional A shu kabi ${ displaystyle f (I_ {x} ^ {n}) = 0}$ kimdir uchun n. (Izoh: ta'rif hali ham amal qiladi, agar k o'zboshimchalik bilan uzuk.)

Endi, agar G algebraik guruhdir k, biz Dist (G) barcha taqsimotlarning to'plami bo'lishi kerak G identifikator elementida qo'llab-quvvatlanadi (ko'pincha faqat tarqatish deb nomlanadi G). Agar f, g unda, biz mahsulotini aniqlaymiz f va g, tomonidan tushirilgan f * g, chiziqli funktsional bo'lish

{ displaystyle k [G] { overset { Delta} { to}} k [G] otimes k [G] { overset {f otimes g} { to}} k otimes k = k}

bu erda Δ komulyatsiya bu ko'payish natijasida kelib chiqqan gomomorfizmdir ${ displaystyle G times G to G}$ . Ko'paytirish assotsiativ bo'lib chiqadi (foydalanish ${ displaystyle 1 otimes Delta circ Delta = Delta otimes 1 circ Delta}$ ) va shunday qilib Dist (G) assotsiativ algebra hisoblanadi, chunki to'plam quyidagi formulalar bo'yicha ko'paytiriladi:

(*)

{ displaystyle Delta (I_ {1} ^ {n}) subset sum _ {r = 0} ^ {n} I_ {1} ^ {r} otimes I_ {1} ^ {n-r}.}

Bu, shuningdek, chiziqli funktsional bo'lgan birlik bilan birlashtirilgan ${ displaystyle k [G] dan k, phi mapsto phi (1)}$ , Dirakning delta o'lchovi.

Yolg'on algebra Yolg'on (GDist ichida o'tiradi (G). Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, Yolg'on (G) ga teginuvchi bo'shliq G hisobga olish elementi 1 da; ya'ni, er-xotin bo'shliq ${ displaystyle I_ {1} / I_ {1} ^ {2}}$ . Shunday qilib, teginish vektori chiziqli funktsionalga teng Men₁ doimiy termini bo'lmagan va kvadratini o'ldiradigan Men₁ va (*) formulani nazarda tutadi ${ displaystyle [f, g] = f * g-g * f}$ hali ham teginuvchi vektordir.

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ Lie algebra bo'lishi G. Keyinchalik, universal mulk tomonidan, shu jumladan ${ displaystyle { mathfrak {g}} hookrightarrow operatorname {Dist} (G)}$ algebra homomorfizmini keltirib chiqaradi:

{ displaystyle U ({ mathfrak {g}}) to operatorname {Dist} (G).}

Qachon asosiy maydon k xarakterli nolga ega, bu homomorfizm izomorfizmdir.^[1]

Misollar

Qo'shimchalar guruhi

Ruxsat bering ${ displaystyle G = mathbb {G} _ {a}}$ qo'shimchalar guruhi bo'lish; ya'ni, G(R) = R har qanday kishi uchun k-algebra R. Turli xil sifatida G affine liniyasi; ya'ni koordinata halqasi k[t] va Menⁿ
₀ = (tⁿ).

Multiplikatsion guruh

Ruxsat bering ${ displaystyle G = mathbb {G} _ {m}}$ multiplikativ guruh bo'ling; ya'ni, G(R) = R^* har qanday kishi uchun k-algebra R. Ning koordinatali halqasi G bu k[t, t⁻¹] (beri G haqiqatan ham GL₁(k).)

Xatlar

Har qanday yopiq kichik guruhlar uchun H, 'K ning G, agar k mukammal va H kamaytirilmaydi, keyin

{ displaystyle H subset K Leftrightarrow operatorname {Dist} (H) subset operatorname {Dist} (K).}

Agar V a G-modul (bu. ning vakili G), keyin Dist () tabiiy tuzilishini tan oladiG) -module, bu o'z navbatida modul tuzilishini tugatadi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .
Har qanday harakat G bo'yicha afine algebraik xilma-xilligi X ning vakilligini keltirib chiqaradi G koordinata halqasida k[G]. Xususan, ning konjugatsiya harakati G ning harakatini keltirib chiqaradi G kuni k[G]. Kimdir ko'rsatishi mumkin Menⁿ
₁ ostida barqaror G va shunday qilib G harakat qiladi (k[G]/Menⁿ
₁)^* va qaerdan uning birlashmasida Dist (G). Natijada paydo bo'lgan harakat deyiladi qo'shma harakat ning G.

Cheklangan algebraik guruhlar ishi

Ruxsat bering G a sifatida "cheklangan" algebraik guruh bo'ling guruh sxemasi; masalan, har qanday cheklangan guruh cheklangan algebraik guruh sifatida qaralishi mumkin. Cheklangan algebraik guruhlar toifasi va xaritalash orqali berilgan cheklangan o'lchovli kokommutativ Hopf algebralari toifasi o'rtasida toifalarning ekvivalenti mavjud. G ga k[G]^*, ning koordinata halqasining duali G. Dist (G) ning (Hopf) subalgebra hisoblanadi k[G]^*.

Lie guruhi bilan bog'liqlik - Lie algebra yozishmalari

Izohlar

^ Yantsen, I qism, § 7.10.

Adabiyotlar

J. C. Jantzen, Algebraik guruhlarning vakolatxonalari, Sof va amaliy matematik, jild. 131, Boston va boshqalar, 1987 (Akademik).
Milne, iAG: algebraik guruhlar: maydonlar bo'yicha algebraik guruh sxemalari nazariyasiga kirish
Klaudio Procesi, Yolg'on guruhlari: invariantlar va vakolatxonalar orqali yondoshish, Springer, Universitext 2006 yil
Mukai, S. (2002). Invariantlar va modullarga kirish. Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
Springer, Tonni A. (1998), Chiziqli algebraik guruhlar, Matematikadagi taraqqiyot, 9 (2-nashr), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, JANOB 1642713

Qo'shimcha o'qish

Chiziqli algebraik guruhlar va ularning Lie algebralari Daniel Miller Fall tomonidan 2014 yil

[1] Yantsen, I qism, § 7.10.

[1]