Dissipativ operator - Dissipative operator - Wikipedia

Yilda matematika, a tarqatuvchi operator a chiziqli operator A a da aniqlangan chiziqli pastki bo'shliq D.(A) ning Banach maydoni X, qiymatlarni hisobga olgan holda X hamma uchun shunday λ > 0 va barchasi xD.(A)

Ikki teng ta'riflar quyida keltirilgan. Dissipativ operator deyiladi maksimal darajada tarqaladigan agar bu dissipativ bo'lsa va hamma uchun bo'lsa λ > 0 operator .MenA surjective, ya'ni domenga qo'llanilganda diapazon degan ma'noni anglatadi D. butun makondir X.

Shunga o'xshash shartga bo'ysungan, lekin minus belgisi o'rniga ortiqcha belgisi bo'lgan (ya'ni dissipativ operatorni inkor qiladigan) operator deyiladi akkreditiv operatori.[1]

Dissipativ operatorlarning asosiy ahamiyati ularning Lumer-Fillips teoremasi maksimal dissipativ operatorlarni generatorlari sifatida tavsiflaydi qisqarish yarim guruhlari.

Xususiyatlari

Dissipativ operator quyidagi xususiyatlarga ega:[2]

  • Yuqorida keltirilgan tengsizlikdan biz buni har qanday kishi uchun tushunamiz x domenida A, agar ‖x‖ ≠ 0 keyin shunday yadro ning .MenA faqat nol vektor va .MenA shuning uchun in'ektsion va hamma uchun teskari λ > 0. (Agar bizda bo'lsa qat'iy tengsizlik null bo'lmaganlar uchun x domenda, keyin uchburchak tengsizligi, bu A ning teskari tomoni borligini anglatadi.) Keyin buni aytishimiz mumkin
Barcha uchun z oralig'ida .MenA. Bu xuddi shu tengsizlik, ushbu maqolaning boshida berilgan bilan (Biz ularni ham shunday yozishimiz mumkin edi har qanday ijobiy hold uchun ushlab turilishi kerak.)
  • .MenA bu shubhali kimdir uchun λ > 0 va agar u hamma uchun sur'ektiv bo'lsa λ > 0. (Bu yuqorida aytib o'tilgan maksimal dissipativ holat.) U holda (0, ∞) ⊂ r(A) (the hal qiluvchi to'plam ning A).
  • A a yopiq operator agar va faqat oralig'i bo'lsa .Men - A ba'zilar uchun yopiq (teng: hamma uchun) λ > 0.

Ekvivalent tavsiflar

Ikkilik to'plamini aniqlang xX, ning pastki qismi er-xotin bo'shliq X ' ning X, tomonidan

Tomonidan Xaxn-Banax teoremasi ushbu to'plam bo'sh emas.[3] In Hilbert maydoni case (Hilbert fazosi va uning ikkiligi o'rtasidagi kanonik ikkilikdan foydalangan holda) u bitta elementdan iborat x.[4] Umuman olganda, agar X bu qat'iy qavariq dualli, keyin esa Banach makoni J(x) bitta elementdan iborat.[5]Ushbu yozuvdan foydalanib, A dissipativ hisoblanadi va agar shunday bo'lsa[6] Barcha uchun xD.(A) mavjud a x' ∈ J(x) shu kabi

Hilbert bo'shliqlarida bu bo'ladi Barcha uchun x yilda D.(A). Bu ijobiy bo'lmaganligi sababli, bizda mavjud

Beri I − A teskari tomonga ega, bu shuni anglatadiki a qisqarish va umuman olganda, har qanday ijobiy λ uchun qisqarishdir. Ushbu formulaning foydaliligi shundaki, agar bu operator qisqarish bo'lsa biroz ijobiy λ keyin A dissipativdir. (PositiveI − A) dan farqli o'laroq, bu barcha ijobiy λ uchun qisqarish ekanligini ko'rsatish shart emas (garchi bu to'g'ri bo'lsa ham).−1 bu qisqarish ekanligi isbotlanishi kerak barchasi λ ning ijobiy qiymatlari.

Misollar

shunday A tarqatuvchi operator.
  • Shunday qilib, operator domeni ekan A (matritsa) - bu butun Evklid kosmosidir, agar u dissipativ bo'lsa va faqat shunday bo'lsa A+A* (A va uning yig'indisi qo'shma ) hech qanday ijobiy o'ziga xos qiymatga ega emas va (natijada) bunday operatorlarning barchasi maksimal darajada dissipativdir. Ushbu mezon haqiqiy qismi ekanligidan kelib chiqadi bu har qanday kishi uchun ijobiy bo'lmasligi kerak x, bo'ladi Buning o'ziga xos qiymati kvadratik shakl shuning uchun ijobiy bo'lmagan bo'lishi kerak. (Haqiqiy qismi ijobiy bo'lmagan bo'lishi kerak, bu o'z qiymatlarining haqiqiy qismlari A ijobiy bo'lmagan bo'lishi kerak, ammo bu etarli emas. Masalan, agar unda uning xos qiymatlari manfiy, lekin ning xos qiymatlari A+A* -5 va 1, shuning uchun A dissipativ emas.) Ekvivalent shart bu ba'zi (va shuning uchun har qanday) uchun ijobiydir teskari va operatorga ega qisqarishdir (ya'ni, u o'z operandining normasini kamaytiradi yoki o'zgarmagan holda qoldiradi). Agar nuqtaning vaqt hosilasi bo'lsa x bo'shliqda Balta, keyin vaqt evolyutsiyasi a tomonidan boshqariladi qisqarish yarim guruhi bu normani doimiy ravishda kamaytiradi (yoki hech bo'lmaganda uning ko'payishiga yo'l qo'ymaydi). (Ammo, agar domen bo'lsa, shunga e'tibor bering A tegishli subspace hisoblanadi A maksimal darajada dissipativ bo'lishi mumkin emas, chunki diapazon etarlicha yuqori o'lchovga ega bo'lmaydi.)
  • Ko'rib chiqing H = L2 ([0, 1]; R) odatdagi ichki mahsuloti bilan va ruxsat bering Au = siz′ (Bu holda a zaif lotin ) domen bilan D.(A) bu funktsiyalarga teng siz ichida Sobolev maydoni bilan siz(1) = 0. D.(A) zich joylashgan L2([0, 1]; R). Bundan tashqari, har bir kishi uchun siz yilda D.(A) yordamida qismlar bo'yicha integratsiya,
Shuning uchun, A tarqatuvchi operator. Bundan tashqari, echim borligi sababli (deyarli hamma joyda ) ichida D. ga har qanday kishi uchun f yilda H, operator A maksimal darajada tarqaladi. Shuni esda tutingki, bu kabi cheksiz o'lchovli bo'lsa, domen faqat tegishli pastki bo'shliq bo'lsa ham, butun Banach maydoni bo'lishi mumkin.
shuning uchun Laplasiya dissipativ operator hisoblanadi.

Izohlar

  1. ^ "Tarqoq operator". Matematika entsiklopediyasi.
  2. ^ Engel va Nagel taklifi II.3.14
  3. ^ Teorema ma'lum bir narsani anglatadi x φ () xususiyati bilan uzluksiz chiziqli funktsional φ mavjud.x)=‖x‖, Φ ning normasi 1 ga teng bo'lsa, biz identify ni aniqlaymizx‖Φ bilan x '.
  4. ^ Engel va Nagel mashqlari II.3.25i
  5. ^ Engel va Nagel II.3.26-misol
  6. ^ Engel va Nagel taklifi II.3.23

Adabiyotlar

  • Engel, Klaus-Yoxen; Nagel, Rayner (2000). Chiziqli evolyutsiya tenglamalari uchun bitta parametrli yarim guruhlar. Springer.
  • Renardi, Maykl; Rojers, Robert C. (2004). Qisman differentsial tenglamalarga kirish. Amaliy matematikadagi matnlar 13 (Ikkinchi nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Ta'rif 12.25)