Farq - Diffiety

Yilda matematika, a tafovut tomonidan kiritilgan geometrik ob'ekt Aleksandr Mixaylovich Vinogradov (qarang Vinogradov (1984a)) ning zamonaviy nazariyasida bir xil rol o'ynaydi qisman differentsial tenglamalar kabi algebraik navlar algebraik tenglamalar uchun o'ynash.

Ta'rif

Turli xillikni aniqlash uchun biz differentsial tenglamalar va ularning echimlarini tavsiflashga geometrik yondoshishimiz kerak. Buning uchun quyida keltirilgan reaktiv bo'shliqlar, uzaytirish va kartonlarni taqsimlash tushunchalari kerak. Ushbu tushunchalarni yaxshi biladigan o'quvchi to'g'ridan-to'g'ri quyidagi bosqichga o'tishi mumkin ta'rifi.

Jet bo'shliqlari

Ruxsat bering ${displaystyle E}$ bo'lish ${displaystyle m + e}$ - o'lchovli silliq manifold.

Ikki

{displaystyle m}

- o'lchovli submanifoldlar

{displaystyle M, M '}

ning

{displaystyle E}

bir xil narsalarga ega deyiladi

{displaystyle k}

- tartib Jet

{displaystyle [M] _ {p} ^ {k}}

da

{displaystyle pin Mcap M'subset E}

agar ular buyurtma uchun teginsa

{displaystyle k}

.

(Bolmoq buyurtma uchun teginish ${displaystyle k}$ shuni anglatadiki, agar kimdir submanifoldlarni bo'limlarning tasviri sifatida tavsiflasa, u holda ushbu bo'limlarning hosilasi buyurtma bo'yicha kelishadi ${displaystyle k}$ .)

{displaystyle M}

va

{displaystyle M '}

bir xil reaktivga ega bo'ling

{displaystyle M}

va

{displaystyle M ''}

bir xil 3-samolyotga ega.

Buni ko'rsatish mumkin buyurtma bo'yicha teginish ${displaystyle k}$ koordinata-o'zgarmas tushuncha va ekvivalentlik munosabati (qarang) Sonders (1989) Shuning uchun jet ekvivalentlik sinfidir. Reaktiv bo'shliqlarni aniqlash uchun biz reaktivlardan foydalanishimiz mumkin.

The Jet Space

{displaystyle J ^ {k} (E, m)}

barcha buyurtma samolyotlari to'plami sifatida aniqlanadi

{displaystyle k}

ning

{displaystyle m}

- o'lchovli submanifoldlar

{displaystyle E}

ning barcha nuqtalarida

{displaystyle E}

, ya'ni

{displaystyle J ^ {k} (E, m): = {[M] _ {p} ^ {k} ~ | ~ Mi p, ~ {ext {dim}} (M) = m, ~ pin E}}

Jet Spaces tabiiy ravishda silliq manifold tuzilishi bilan ta'minlanganligini ko'rsatish mumkin (qarang Sonders (1989) yana).

Jet Spaces va Jet Bundles munosabatlariga oid izoh.

Yuqoridagi kabi submanifoldlarning samolyotlarini ko'rib chiqish o'rniga, ko'pincha tolali manifoldning uchastkalarini aniqlash kifoya ${displaystyle pi: Eightarrow M}$ . Bunday holda proektsiyaga gorizontal bo'lgan submanifoldlarni tasvirlash mumkin ${displaystyle pi}$ bo'limlarning tasvirlari sifatida ${displaystyle s}$ tolali manifold. Keyinchalik, bo'limlarning jeti buyurtma bo'yicha teginadigan qismlarning ekvivalentligi sinfidir ${displaystyle k}$ bir nuqtada ${displaystyle pin M}$ . Bu a ta'rifini keltirib chiqaradi Jet to'plami bu Jet Space-dan bir oz kamroq umumiy qurilish. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun Vikipediya sahifasini ko'rib chiqing Jet to'plamlari.

Differentsial tenglamalar

A differentsial tenglama Jet Space submanifoldidir,

{displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {k} (E, m)}

.

Agar echimlarni quyida keltirilgan tarzda aniqlasa, u holda mahalliy koordinatalardagi PDE ning bu geometrik ta'rifi odatda PDE va ularning echimlarini aniqlash uchun ishlatiladigan iboralarni keltirib chiqaradi. matematik tahlil.

Uzaytirish

The ${displaystyle k}$ -jet uzaytirilishi submanifold

{displaystyle Msubset E}

, bu ko'mish

{displaystyle j ^ {k} (M): Mightarrow J ^ {k} (E, m)}

tomonidan berilgan

{displaystyle j ^ {k} (M) (p): = [M] _ {p} ^ {k}.}

Bundan tashqari, buni ayting

{displaystyle M ^ {k}: = {ext {im}} (j ^ {k} (M))}

a uzaytirish submanifold

{displaystyle M}

.

Bundan tashqari, tenglamalarning uzaytirilishini, ya'ni Jet bo'shliqlarining submanifoldlarini aniqlash mumkin, shuning uchun differentsial tenglamani ko'rib chiqing. ${displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {l} (E, m)}$ . Kimdir buni xohlaydi ${displaystyle k}$ -tartibli tenglamani uzaytirish ${displaystyle l}$ tartibli tenglama bo'lish ${displaystyle k + l}$ , ya'ni reaktiv maydonning submanifoldi ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$ .Bunga erishish uchun birinchi navbatda reaktiv makon quriladi ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ ustida ${displaystyle m}$ ning o'lchovli submanifoldlari ${displaystyle {mathcal {E}}}$ . Sifatida ${displaystyle {mathcal {E}}}$ ichiga o'rnatilgan ${displaystyle J ^ {l} (E, m)}$ , har doim tabiiy ravishda joylashtirilishi mumkin ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ ichiga ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$ . Ammo ikkinchisi submanifoldlarning takrorlangan samolyotlari maydoni ${displaystyle E}$ , shuningdek, har doim ham joylashtirilishi mumkin ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$ ichiga ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$ . Natijada, ikkalasini ham ko'rib chiqishda ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$ va ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ ning subspaces sifatida ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$ , ularning kesishishi aniq belgilangan. Bu uzayishni aniqlash uchun ishlatiladi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ .

The

{displaystyle k}

-diferensial tenglamani uzaytirish

{displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {l} (E, m)}

sifatida belgilanadi

{displaystyle {mathcal {E}} ^ {k}: = J ^ {k} ({mathcal {E}}, m) shapka J ^ {k + l} (E, m)}

Shunga qaramay, bunday kesishma yana ko'p qirrali bo'lishi shart emas (ya'ni har doim ham tekis manifoldlar toifasida mavjud emas). Shuning uchun odatda talab qilinadi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ hech bo'lmaganda uning birinchi uzaytirilishi haqiqatan ham submanifoldga teng bo'ladigan darajada chiroyli bo'lish ${displaystyle J ^ {k + 1} (E, m)}$ .

Bundan tashqari, ushbu ta'rif hali ham, hatto qachon ham mantiqiy ekanligini ko'rsatishi mumkin ${displaystyle k}$ cheksizlikka boradi.

Karton tarqatish

E'tibor bering, quyida tarqatish ma'nosida tushunilmaydi umumlashtirilgan funktsiyalar lekin odatda ko'rib chiqilayotganda amalga oshiriladigan tegon to'plamining pastki to'plami deb hisoblanadi differentsial geometriyadagi taqsimotlar.

An ${displaystyle R}$ - samolyot bir nuqtada

{displaystyle heta in J ^ {k} (E, m)}

tangens fazoning subspace deb belgilanadi

{displaystyle T_ {heta} (J ^ {k} (E, m))}

shaklning

{displaystyle T_ {heta} (M ^ {k})}

har qanday submanifold uchun

{displaystyle M}

ning

{displaystyle E}

(uning uzaytirilishida nuqta bor

{displaystyle heta}

).

Barchaning davomiyligi

{displaystyle R}

- bir nuqtada samolyotlar

{displaystyle heta in J ^ {k} (E, m)}

bilan belgilanadi

{displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{heta}}

. Xarita

{displaystyle {mathcal {C}}: J ^ {k} (E, m) karavot TJ ^ {k} (E, m), qquad heta mapsto {mathcal {C}} _ ​​{heta} subset T_ {heta} ( J ^ {k} (E, m))}

deyiladi Cartan Distribution (yoqilgan

{displaystyle J ^ {k} (E, m)}

).

Karton taqsimoti differentsial tenglamalarga algebro-geometrik yondoshishda muhim ahamiyatga ega, chunki u differentsial tenglamalarning umumlashgan echimlarini sof geometrik atamalarda aniqlashga imkon beradi.

Differentsial tenglamaning umumlashtirilgan echimi

{displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {k} (E, m)}

deb belgilanadi

{displaystyle m}

- o'lchovli submanifold

{displaystyle Ssubset {mathcal {E}}}

bu bajariladi

{displaystyle T_ {heta} Ssubset {mathcal {C}} _ ​​{heta}}

Barcha uchun

{displaystyle heta in S}

.

Submanifoldining Cartan Distribution-ga qarash mumkin ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ ichida ko'rib chiqishga hojat yo'q ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ . Buning uchun Distribution ning submanifoldgacha bo'lgan cheklovi aniqlanadi ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ quyidagicha.

Agar

{displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {k} (E, m)}

, keyin uning Cartan Distribution tomonidan belgilanadi

{displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {E}}): = {{mathcal {C}} _ ​​{heta} cap T_ {heta} ({mathcal {E}}) ~ | ~ heta in {mathcal { E}}}}

Shu ma'noda, juftlik ${displaystyle ({mathcal {E}}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}}))}$ differentsial tenglamaning (umumlashtirilgan) echimlari haqidagi ma'lumotlarni kodlaydi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ .

Turli xillikning ta'rifi

Yilda Algebraik geometriya o'rganishning asosiy ob'ektlari navlari hammasini o'z ichiga oladi algebraik natijalar algebraik tenglamalar tizimining. Masalan, agar biron bir polinomlar to'plamining nol joyini ko'rib chiqadigan bo'lsak, unda ushbu to'plamga algebraik amallarni qo'llash (masalan, o'sha polinomlarni bir-biriga qo'shish yoki ularni boshqa har qanday polinom bilan ko'paytirish kabi) bir xil nol joyni keltirib chiqaradi, ya'ni biri mumkin aslida dastlabki polinomlar to'plamining algebraik idealining nol joyini ko'rib chiqing.

Endi differentsial tenglamalar bo'lsa, algebraik amallarni qo'llashdan tashqari, qo'shimcha ravishda farqlash imkoniyati mavjud. Shuning uchun navning differentsial analogi a kabi bo'lishi kerak differentsial ideal va barchasini o'z ichiga olishi kerak differentsial oqibatlar. Tenglamaning differentsial oqibatlarini o'z ichiga olgan tabiiy ob'ekt ${displaystyle {mathcal {E}}}$ uning cheksiz uzayishi ${displaystyle {mathcal {E}} ^ {infty}}$ . Umuman olganda, u cheksiz o'lchovli bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, yuqorida tavsiflangan Cartan taqsimotining geometrik tuzilishiga e'tibor qaratmoqchimiz. Shuning uchun, juftlik ${displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}))}$ elementar sifatida aniqlanadi farqerential varto'qson, yoki qisqasi, boshlang'ich sifatida tafovut.

Agar

{displaystyle {mathcal {E}}}

a

{displaystyle k}

- tartibli differentsial tenglama, uning boshlang'ich tafovut bu juftlik

{displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}))}

.

Differentsial tenglamani ko'rib chiqishda e'tibor bering ${displaystyle {mathcal {E}} kichik to'plam J ^ {k} (E, m)}$ , keyin Cartan tarqatilishini ko'rsatish mumkin ${displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty})}$ aniq ${displaystyle m}$ - juda ko'p cho'zilishlardan farqli o'laroq o'lchovli.

Elementar diffietiyalar - bu affektiv algebraik navlar algebraik tenglamalar nazariyasidagi kabi qisman differentsial tenglamalar nazariyasida bir xil rol o'ynaydigan geometrik ob'ektlar. Xuddi shunday navlari yoki sxemalar kamaytirilmaydigan narsalardan iborat afin navlari yoki afine sxemalari, shuningdek, (elementar bo'lmagan) farqni ob'ekt sifatida belgilash mumkin mahalliy o'xshaydi boshlang'ich farq.

Aytaylik

{displaystyle {mathcal {O}}}

silliq funktsional algebra bilan jihozlangan umuman cheksiz o'lchovli manifold

{displaystyle {mathcal {F}} ({mathcal {O}})}

va cheklangan o'lchovli tarqatish

{displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {O}})}

.A tafovut uch karra

{displaystyle ({mathcal {O}}, {mathcal {F}} ({mathcal {O}}), {mathcal {C}} ({mathcal {O}}))}

bu mahalliy shaklga tegishli

{displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, C ^ {infty} ({mathcal {E}} ^ {infty}), {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}) )}

qayerda

{displaystyle {mathcal {E}}}

a differentsial tenglama,

{displaystyle C ^ {infty} ({mathcal {E}} ^ {infty})}

cheksiz farqlanadigan funktsiyalar sinfini bildiradi

{displaystyle {mathcal {E}} ^ {infty}}

va mahalliy ga nisbatan tegishli lokalizatsiyani anglatadi Zariski topologiyasi algebra bilan mos keladi

{displaystyle {mathcal {F}} ({mathcal {O}})}

.

Aytilgan xaritalar Cartan tarqatilishini saqlang silliq xaritalar ${displaystyle Phi: {mathcal {O}} ightarrow {mathcal {O}} '}$ qaysi shunday surishtiruvchi ${displaystyle d_ {heta} Phi}$ da ${displaystyle heta {mathcal {O}}} da$ quyidagicha harakat qiladi:

{displaystyle d_ {heta} Phi (vin {mathcal {C}} _ ​​{heta}) in {mathcal {C}} _ ​​{Phi (heta)}}

Karton taqsimotini saqlaydigan xaritalar bilan bir qatorda ob'ektlar va morfizmlari Diferensial tenglamalar toifasi Vinogradov tomonidan aniqlangan. Mavzuga to'liq kirish berilgan Vinogradov (2001).

Ilovalar

Vinogradov ketma-ketligi

The Vinogradov ${displaystyle {mathcal {C}}}$ -spektral ketma-ketlik (yoki qisqasi, Vinogradov ketma-ketligi) - karton taqsimotiga bog'liq bo'lgan spektral ketma-ketlik ${displaystyle {mathcal {C}}}$ Vinogradov ixtiro qilgan (qarang. qarang Vinogradov (1978)) differentsial tenglamaning rasmiy eritma makonining ma'lum xususiyatlarini hisoblash. Uni shakllantirish uchun har xil fikrlardan foydalanish mumkin.

Buni taxmin qiling ${displaystyle ({mathcal {O}}, {mathcal {F}} ({mathcal {O}}), {mathcal {C}} ({mathcal {O}}))}$ bu farq. Endi aniqlang

{displaystyle Omega ({mathcal {O}}): = sum _ {igeq 0} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})}

Diferensial shakllarning algebrasi bo'lish ${displaystyle {mathcal {O}}}$ Tegishli de Rham majmuasini ko'rib chiqing:

{displaystyle C ^ {infty} ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ Omega ^ {1} ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ Omega ^ {2 } ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ cdots}

Uning kohomologik guruhlari ${displaystyle H ^ {i} ({mathcal {O}}): = {ext {ker}} ({ext {d}} _ {i}) / {ext {im}} ({ext {d}} _ {i-1})}$ PDE haqida ba'zi tarkibiy ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Biroq, Puankare Lemma tufayli ularning barchasi mahalliy darajada yo'q bo'lib ketmoqda. Ko'proq va hatto mahalliy ma'lumotlarni olish uchun Cartan tarqatilishini hisobga olish kerak, shuning uchun Vinogradov ketma-ketligini engillashtiradi.

{displaystyle {mathcal {C}} Omega ({mathcal {O}}) = sum _ {igeq 0} {mathcal {C}} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})}

differentsial shakllarning submoduli bo'lishi ${displaystyle Omega ({mathcal {O}})}$ ustida ${displaystyle {mathcal {O}}}$ tarqatish uchun cheklov yo'qoladi. Buning ma'nosi

{displaystyle {mathcal {C}} Omega ^ {p} ({mathcal {O}}) iw {ext {iff}} w (X_ {1}, cdots, X_ {p}) = 0 ~ forall ~ X_ {1 }, cdots, X_ {p} {mathcal {C}} da ({mathcal {O}}).}

Bu haqiqatan ham differentsial ideal deb ataladi, chunki u barqaror w.r.t. de Rham differentsialiga, ya'ni. ${displaystyle {ext {d}} ({mathcal {C}} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})) subset {mathcal {C}} Omega ^ {i + 1} ({mathcal {O}}) )}$ .

Endi ruxsat bering ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {k} Omega ({mathcal {O}})}$ uning bo'lishi ${displaystyle k}$ - kuch, ya'ni chiziqli pastki bo'shliq ${displaystyle {mathcal {C}} Omega}$ tomonidan yaratilgan ${displaystyle w_ {1} wedge cdots wedge w_ {k}, ~ w_ {i} {mathcal {C}} Omega} da$ .Shundan keyin filtratsiya olinadi

{displaystyle Omega ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} Omega ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} ^ {2} Omega ({mathcal {O}}) supset cdots}

va barcha ideallardan beri ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {k} Omega}$ barqaror, bu filtratsiya spektral ketma-ketlikni to'liq aniqlaydi. (Spektral ketma-ketliklar qanday ishlashi haqida ko'proq ma'lumot uchun qarang spektral ketma-ketlik.) Biz ushbu ketma-ketlikni belgilaymiz

{displaystyle {mathcal {C}} E ({mathcal {O}}) = {E_ {r} ^ {p, q}, {ext {d}} _ {r} ^ {p, q}} qquad {ext {qaerda}} qquad E_ {0} ^ {p, q}: = {frac {{mathcal {C}} ^ {p} Omega ^ {p + q} ({mathcal {O}})} {{mathcal { C}} ^ {p + 1} Omega ^ {p + q} ({mathcal {O}})}}, qquad {ext {and}} qquad E_ {r + 1} ^ {p, q}: = H (E_ {r} ^ {p, q}, d_ {r} ^ {p, q})}

Yuqoridagi filtratsiya har bir darajada cheklangan, demak

{displaystyle Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} ^ {1} Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) setset cdots supset {mathcal {C}} ^ { k + 1} Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) = 0}

Agar filtrlash shu ma'noda cheklangan bo'lsa, u holda spektral ketma-ketlik de Rham kohomologiyasiga aylanadi ${displaystyle H ({mathcal {O}})}$ Shuning uchun endi spektral ketma-ketlik shartlarini buyurtma bo'yicha tahlil qilish mumkin, masalan, 5-bobda bajarilgan. Krasilshchik (1999). Bu erda faqat Vinogradov ketma-ketligidagi qaysi ma'lumotlar joylashganligi umumlashtiriladi.

${displaystyle E_ {1} ^ {0, n}}$ PDE tomonidan cheklangan harakat funktsiyalariga mos keladi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ va uchun ${displaystyle {mathcal {L}} E_ {1} ^ {0, n}} da$ , mos keladigan Eyler-Lagranj tenglamasi ${displaystyle {ext {d}} _ {1} ^ {0, n} {mathcal {L}} = 0}$ .
${displaystyle E_ {1} ^ {0, n-1}}$ ning echimlari uchun saqlanish qonunlariga mos keladi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ .
${displaystyle E_ {2}}$ ning echimlari bordizmlarining xarakterli sinflari sifatida talqin etiladi ${displaystyle {mathcal {E}}}$ .
Hali ham talqinni kutayotgan ko'plab atamalar mavjud.

Variatsion bikompleks haqida eslatma.

Agar kimdir reaktiv bo'shliq o'rniga reaktiv to'plamni ko'rib chiqsa, u holda o'rniga ${displaystyle {mathcal {C}}}$ -spektral ketma-ketlik, bir oz kamroq umumiylikni oladi variatsion bikompleks. (Har qanday bikompleks ikkita spektral ketma-ketlikni aniqlaydi. Varyatsion bikompleks aniqlagan ikkita spektral ketma-ketlikdan biri aynan Vinogradovdir ${displaystyle {mathcal {C}}}$ -spektral ketma-ketlik. Biroq, variatsion bikompleks Vinogradov ketma-ketligidan mustaqil ravishda ishlab chiqilgan.)

Spektral ketma-ketlik shartlariga o'xshab, agar uning farqliligini (ya'ni taxminan PDE ning eritma maydoni) hisobga olsak, uning ko'pgina atamalariga fizik talqin qilish mumkin. klassik maydon nazariyasi. Masalan, bitta birlashtirilgan tartibda harakat funktsiyalari, saqlanadigan oqimlar, o'lchov zaryadlari va boshqa muhim tushunchalarga mos keladigan kohomologiya darslari olinadi.

Vikipediyadagi maqoladan beri variatsion bikompleks hozirda juda qisqa, o'quvchi o'rniga nLab maqolasi qo'shimcha ma'lumot olish uchun.

Ikkilamchi hisob

Vinogradov ikkinchi darajali hisoblash deb nomlanadigan nazariyani ishlab chiqdi (qarang. Qarang) Vinogradov (1984b), Vinogradov (1998), Vinogradov (2001)), ma'lum bir PDE tizimining echimlari kosmosidagi differentsial hisoblash g'oyasini kohomologik nuqtai nazardan rasmiylashtirgan holda, yoki taxminan bir xil bo'lsa, ushbu diffiyatsiyaning integral manifoldlari maydoni. Boshqacha qilib aytganda, ikkilamchi hisoblash vektor maydonlari, differentsial shakllar, differentsial operatorlar va boshqalarning o'rnini bosuvchi (umumiy) juda singular bo'shliqda, bu ob'ektlarni odatiy (silliq) usul bilan aniqlash mumkin emas. (Ushbu xulosa kirish qismidan olingan Vitagliano (2014).)

Yilda Vitagliano (2009) ikkilamchi hisoblash va kovariant faza fazosi o'rtasidagi bog'liqlik tahlil qilinadi (bu Eyler-Lagranj tenglamalarining a Lagrangean maydon nazariyasi ).

Shuningdek qarang

Algebraik geometriyadan fikrlarni umumlashtirishning yana bir usuli bu differentsial algebraik geometriya.

Adabiyotlar

Vinogradov, A. M. (1978), "Lagranjiya maydon nazariyasining cheklovsiz chiziqli differentsial tenglamasi va algebro-geometrik asoslari bilan bog'liq spektral ketma-ketlik", Sovet matematikasi. Dokl., 19: 144–148
Vinogradov, A. M. (1984a), "Mahalliy simmetriya va saqlanish qonunlari", Acta Applicationsandae Mathematicae, 2 (1): 21–78, doi:10.1007 / BF01405491, JANOB 0736872
Vinogradov, A. M. (1984b), "C-spektral ketma-ketlik, Lagranjiy formalizm va I, II saqlanish qonunlari", J. Matematik. Anal. Qo'llash., 100: 1–129, doi:10.1016 / 0022-247X (84) 90071-4
Saunders, D. J. (1989). Jet to'plamlarining geometriyasi. London matematik jamiyati ma'ruzalar to'plami. Kembrij universiteti matbuoti.
Vinogradov, A. M. (1998), "Ikkilamchi hisob-kitoblarga kirish", M. Xenoda; I. S. Krasil'shchik; A. M. Vinogradov (tahr.), Ikkilamchi hisoblash va kohomologik fizika, Zamonaviy matematika, 219, Amerika matematik jamiyati, 241–272 betlar, ISBN 978-0-8218-0828-3
Krasilshchik, I. S .; Vinogradov, A. M.; Bocharov, A. V .; Chetverikov, V. N .; Dujin, S. V .; Xorqova, N. G.; Samoxin, A. V.; Torxov, Y. N .; Verbovetskiy, A. M. (1999). Matematik fizikaning differentsial tenglamalari uchun nosimmetrikliklar va saqlanish qonunlari. Matematik monografiyalar tarjimalari. Amerika matematik jamiyati.
Vinogradov, Aleksandr Mixalovich (2001), Qisman differentsial tenglamalar va ikkilamchi hisoblarning kohomologik tahlili, AMS kitob do'koni, ISBN 978-0-8218-2922-6
Vitagliano, Luka (2009), "Ikkilamchi hisob va kovariant faza maydoni", Geometriya va fizika jurnali, 59 (4): 426–447, arXiv:0809.4164, Bibcode:2009JGP .... 59..426V, doi:10.1016 / j.geomphys.2008.12.001
Vitagliano, Luka (2014), "Kuchli homotopiya li-Rinehart barglari algebrasida", Zamonaviy matematikadagi aloqa, 16 (6): 1450007, arXiv:1204.2467, doi:10.1142 / S0219199714500072

Tashqi havolalar

Farq instituti (2010 yildan beri muzlatilgan, ammo foydali, tegishli materiallar mavjud)
Levi-Civita instituti (yuqoridagi saytning vorisi, turli xillik maktablari to'g'risida dolzarb ma'lumotlar mavjud)
Differentsial tenglamalar geometriyasi