Konformal radius - Conformal radius

Matematikada konformal radius a o'lchamini o'lchash usuli oddiygina ulangan planar domen D. bir nuqtadan ko'rib chiqildi z unda. Foydalanadigan tushunchalardan farqli o'laroq Evklid masofasi (aytaylik, markaz bilan yozilgan eng katta diskning radiusi z), bu tushunchani ishlatish uchun juda mos keladi kompleks tahlil, xususan konformali xaritalar va konformal geometriya.

Yaqindan bog'liq bo'lgan tushuncha transfinite diametri yoki (logaritmik) sig'im a ixcham shunchaki ulangan to'plam D., ning konformal radiusiga teskari deb hisoblash mumkin to'ldiruvchi E = D.^v dan ko'rib chiqildi cheksizlik.

Ta'rif

Shunchaki bog'langan domen berilgan D. ⊂ Cva nuqta z ∈ D., tomonidan Riemann xaritalash teoremasi noyob konformal xarita mavjud f : D. → D. ustiga birlik disk (odatda xaritani bir xillashtirish) bilan f(z) = 0 ∈ D. va f′(z) ∈ R₊. Ning konformal radiusi D. dan z keyin sifatida belgilanadi

${ displaystyle mathrm {rad} (z, D): = { frac {1} {f '(z)}} ,}$

Eng oddiy misol - radiusli diskning konformal radiusi r uning markazidan ham ko'rish mumkin r, bir xil xaritada ko'rsatilgan x ↦ x/r. Qo'shimcha misollar uchun pastga qarang.

Ushbu tushunchaning foydaliligining sabablaridan biri shundaki, u konformal xaritalarda o'zini yaxshi tutadi: agar φ: D. → D.′ Bu konformal biektsiya va z yilda D., keyin ${ displaystyle mathrm {rad} ( varphi (z), D ') = | varphi' (z) | , mathrm {rad} (z, D)}$.

Konformal radiusni quyidagicha ifodalash mumkin ${ displaystyle exp ( xi _ {x} (x))}$ qayerda ${ displaystyle xi _ {x} (y)}$ ning harmonik kengaytmasi ${ displaystyle log (| x-y |)}$ dan ${ displaystyle kısalt D}$ ga ${ displaystyle D}$.

Maxsus holat: yuqori yarim tekislik

Ruxsat bering K ⊂ H ning pastki qismi bo'lishi yuqori yarim tekislik shu kabi D. := H\K bog'langan va oddiygina bog'langan va ruxsat bering z ∈ D. nuqta bo'lishi. (Bu odatiy stsenariy, masalan, Schramm-Loewner evolyutsiyasi ). Riemann xaritalash teoremasi bo'yicha konformal biektsiya mavjud g : D. → H. Keyin har qanday bunday xarita uchun g, oddiy hisoblash buni beradi

${ displaystyle mathrm {rad} (z, D) = { frac {2 , mathrm {Im} (g (z))} {| g '(z) |}} ,.}$

Masalan, qachon K = ∅ va z = men, keyin g identifikatsiya xaritasi bo'lishi mumkin va biz rad (men, H) = 2. Buning asl ta'rifga mos kelishini tekshirish: bir xillashtiruvchi xarita f : H → D. bu

${ displaystyle f (z) = i { frac {z-i} {z + i}},}$

va keyin hosilani osongina hisoblash mumkin.

Nurlanish bilan bog'liqlik

Bu radiusning yaxshi o'lchovi ekanligini quyidagi quyidagi natija ko'rsatib turibdi Shvarts lemma va Koeb 1/4 teoremasi: uchun z ∈ D. ⊂ C,

${ displaystyle { frac { mathrm {rad} (z, D)} {4}} leq mathrm {dist} (z, qismi D) leq mathrm {rad} (z, D),}$

qaerda dist (z, ∂D.) orasidagi evklid masofasini bildiradi z va chegara ning D., yoki boshqacha qilib aytganda, markaz bilan yozilgan eng katta diskning radiusi z.

Ikkala tengsizlik ham mumkin:

Qabul qilish orqali yuqori chegaraga aniq erishiladi D. = D. va z = 0.

Pastki chegaraga quyidagi "yoriqli domen" erishiladi: D. = C\R₊ va z = −r ∈ R₋. Kvadrat ildiz xaritasi. Olinadi D. yuqori yarim tekislikka H, bilan ${ displaystyle varphi (-r) = i { sqrt {r}}}$ va lotin ${ displaystyle | varphi '(-r) | = { frac {1} {2 { sqrt {r}}}}}$. Yuqoridagi yuqoridagi yarim tekislik formulasi beradi ${ displaystyle mathrm {rad} (i { sqrt {r}}, mathbb {H}) = 2 { sqrt {r}}}$, keyin konformal xaritalar bo'yicha transformatsiya formulasi rad (-r, D.) = 4r, albatta, dist (-r, ∂D.) = r.

Infinitydan versiya: transfinite diametri va logaritmik imkoniyatlar

Qachon D. ⊂ C shunchaki bog'langan ixcham to'plam, keyin uni to'ldiruvchi E = D.^v da oddiy bog'langan domen Riman shar tarkibida ∞ mavjud^{[iqtibos kerak ]}va birini aniqlash mumkin

${ displaystyle mathrm {rad} ( infty, D): = { frac {1} { mathrm {rad} ( infty, E)}}: = lim _ {z to infty} { frac {f (z)} {z}},}$

qayerda f : C\D. → E $ f ( phi) = beta $ bo'lgan noyob bijective konformal xaritasi va bu musbat haqiqiy bo'lgan chegara, ya'ni shaklning konformal xaritasi

${ displaystyle f (z) = c_ {1} z + c_ {0} + c _ {- 1} z ^ {- 1} + dots, qquad c_ {1} in mathbf {R} _ {+ }.}$

Koeffitsient v₁ = rad (∞, D.) ga teng transfinite diametri va (logaritmik) sig'im ning D.; 11-bobga qarang Pommerenke (1975) va Kuzemina (2002). Da haqidagi maqolaga qarang to'plamning hajmi.

Koeffitsient v₀ deyiladi konformal markaz ning D.. Buning ichida yotishini ko'rsatish mumkin qavariq korpus ning D.; bundan tashqari,

${ displaystyle D subseteq {z: | z-c_ {0} | leq 2c_ {1} } ,,}$

bu erda radius 2v₁ 4 uzunlikdagi to'g'ri chiziqli segment uchun keskinv₁. 12–13-betlarga va 11-bobga qarang Pommerenke (1975).

Fekete, Chebyshev va o'zgartirilgan Chebyshev konstantalari

Transfinit diametrga teng bo'lgan yana uchta miqdorni aniqlaymiz, garchi ular juda boshqacha nuqtai nazardan aniqlangan bo'lsa ham. Ruxsat bering

${ displaystyle d (z_ {1}, ldots, z_ {k}): = prod _ {1 leq i$

nuqtalarning juftlik masofalarining hosilasini belgilang ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {k}}$ va ixcham to'plam uchun quyidagi miqdorni aniqlaylik D. ⊂ C:

${ displaystyle d_ {n} (D): = sup _ {z_ {1}, ldots, z_ {n} in D} d (z_ {1}, ldots, z_ {n}) ^ { frac {1} { binom {n} {2}}}}$

Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle d_ {n} (D)}$ ning juftlik masofalarining geometrik o'rtacha supremumidir n ball D.. Beri D. ixchamdir, bu supremumga ballar to'plami erishiladi. Bunday n- nuqta to'plami a deb nomlanadi Fekete o'rnatildi.

Chegara ${ displaystyle d (D): = lim _ {n to infty} d_ {n} (D)}$ mavjud va u deyiladi Fekete doimiy.

Endi ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n}}$ darajadagi barcha monik polinomlar to'plamini belgilang n yilda C[x], ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ {n}}$ polinomlar to‘plamini ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n}}$ barcha nollar bilan D. va bizga aniqlaylik

${ displaystyle mu _ {n} (D): = inf _ {p in { mathcal {P}} _ {n}} sup _ {z in D} | p (z) |}$ va ${ displaystyle { tilde { mu}} _ {n} (D): = inf _ {p in { mathcal {Q}} _ {n}} sup _ {z in D} | p (z) |}$

Keyin chegaralar

${ displaystyle mu (D): = lim _ {n to infty} mu _ {n} (D) ^ { frac {1} {n}}}$ va ${ displaystyle mu (D): = lim _ {n to infty} { tilde { mu}} _ {n} (D) ^ { frac {1} {n}}}$

mavjud va ular deyiladi Chebyshev doimiy va o'zgartirilgan Chebyshev doimiynavbati bilan.Maykl Fekete va Gábor Szegő bu doimiylar teng ekanligini isbotladi.

Ilovalar

Konformal radius juda foydali vosita, masalan, bilan ishlashda Schramm-Loewner evolyutsiyasi. Chiroyli misolni topish mumkin Lawler, Shramm va Verner (2002).

Adabiyotlar

• Ahlfors, Lars V. (1973). Konformal invariantlar: geometrik funktsiyalar nazariyasidagi mavzular. Oliy matematika turkumi. McGraw-Hill. JANOB  0357743. Zbl  0272.30012.
• Horvat, Yanos, ed. (2005). Yigirmanchi asrda venger matematikasining panoramasi, men. Bolyai Jamiyati Matematik tadqiqotlar. Springer. ISBN  3-540-28945-3.
• Kuzemina, G. V. (2002), Domenning konformal radiusi, dan Matematika entsiklopediyasi onlayn.
• Lawler, Gregori F.; Shramm, Oded; Verner, Vendelin (2002), "Muhim 2 o'lchovli perkolyatsiya uchun bitta qo'l ko'rsatkichi", Elektron ehtimollik jurnali, 7 (2): 13 bet, arXiv:matematik / 0108211, doi:10.1214 / ejp.v7-101, ISSN  1083-6489, JANOB  1887622, Zbl  1015.60091
• Pommerenke, nasroniy (1975). Noyob funktsiyalar. Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. XXV guruh. Gerd Jensenning kvadratik differentsiallari haqidagi bob bilan. Göttingen: Vandenhoek va Ruprext. Zbl  0298.30014.

Qo'shimcha o'qish

• Rumeli, Robert S. (1989), Algebraik egri chiziqlar bo'yicha imkoniyatlar nazariyasi, Matematikadan ma'ruza matnlari, 1378, Berlin va boshqalar: Springer-Verlag, ISBN  3-540-51410-4, Zbl  0679.14012

Tashqi havolalar

• Puh, Charlz, Konformal radius. Kimdan MathWorld - Wolfram veb-resursi, Erik V. Vayshteyn tomonidan yaratilgan.