Karlson nosimmetrik shakli - Carlson symmetric form - Wikipedia

Yilda matematika, Karlsonning nosimmetrik shakllari elliptik integrallar elliptik integrallarning kichik kanonik to'plami bo'lib, unga hamma kamayishi mumkin. Ular zamonaviy alternativ Legendre shakllari. Legendre shakllari Karlson shakllari bilan ifodalanishi mumkin va aksincha.

Karlson elliptik integrallari:

Beri va ning alohida holatlari va , barcha elliptik integrallarni oxir-oqibat adolatli baholash mumkin va .

Atama nosimmetrik Legendre shakllaridan farqli o'laroq, ushbu funktsiyalar ularning ba'zi bir argumentlari bilan almashinish orqali o'zgarmasligini anglatadi. Ning qiymati uning argumentlarining har qanday almashinuvi uchun bir xil va qiymati uning dastlabki uchta argumentini har qanday almashtirish uchun bir xil.

Karlson elliptik integrallari Bille C. Karlson nomi bilan atalgan.

Legendre shakllariga aloqadorlik

To'liq bo'lmagan elliptik integrallar

Tugallanmagan elliptik integrallar Carlson nosimmetrik shakllari yordamida osongina hisoblash mumkin:

(Izoh: yuqoridagilar faqat uchun amal qiladi va )

To'liq elliptik integrallar

Bajarildi elliptik integrallar φ = almashtirish bilan hisoblash mumkin12π:

Maxsus holatlar

Ikkala argumentning ikkalasi yoki uchalasi bo'lganda bir xil, keyin almashtirish integralni ratsional qiladi. Keyinchalik integralni elementar transandantal funktsiyalar bilan ifodalash mumkin.

Xuddi shunday, qachonki uchta argumentdan kamida ikkitasi bir xil,

Xususiyatlari

Bir xillik

Integral ta'riflarga almashtirish orqali har qanday doimiy uchun , deb topildi

Ko'paytirish teoremasi

qayerda .

[1]

qayerda va

Seriyalarni kengaytirish

A olishda Teylor seriyasi uchun kengaytirish yoki bu bir nechta argumentlarning o'rtacha qiymati haqida kengaytirish uchun qulaydir. Shunday qilib , argumentlarning o'rtacha qiymati bo'lsin va bir xillikdan foydalanib aniqlang , va tomonidan

anavi va boshqalar , va ushbu belgi bilan belgilanadi (ular shunday olib tashlandi), Karlsonning hujjatlari bilan kelishish uchun. Beri ning almashinuvi ostida nosimmetrikdir , va , shuningdek, bu miqdorlarda nosimmetrikdir , va . Bundan kelib chiqadiki, ikkalasining integrali ham va uning integralini funktsiyalari sifatida ifodalash mumkin elementar nosimmetrik polinomlar yilda , va qaysiki

Integrandni ushbu polinomlar bo'yicha ifodalash, ko'p o'lchovli Teylor kengayishini amalga oshirish va davrma-davr ...

Argumentlarning o'rtacha qiymati haqida kengayishning afzalligi endi aniq; u kamayadi xuddi shunday nolga teng va shu bilan bog'liq barcha shartlarni yo'q qiladi - aks holda bu eng ko'p sonli bo'ladi.

Uchun ko'tarilgan qator shunga o'xshash tarzda topilishi mumkin. Biroz qiyinchilik bor, chunki to'liq nosimmetrik emas; uning to'rtinchi dalilga bog'liqligi, , bog'liqligidan farq qiladi , va . Buni davolash orqali engib o'tish mumkin ning to'liq nosimmetrik funktsiyasi sifatida besh ikkitasi bir xil qiymatga ega bo'lgan argumentlar . Shuning uchun argumentlarning o'rtacha qiymati qabul qilinadi

va farqlar , va tomonidan belgilanadi

The elementar nosimmetrik polinomlar yilda , , , va (yana) to'liq

Biroq, uchun formulalarni soddalashtirish mumkin , va haqiqatdan foydalanib . Integrandni ushbu polinomlar bo'yicha ifodalash, ko'p o'lchovli Teylor kengayishini amalga oshirish va avvalgidek davrma-davr integratsiya qilish ...

Xuddi shunday , argumentlarning o'rtacha qiymatini kengaytirib, atamalarning yarmidan ko'pi (shu bilan bog'liq) ) yo'q qilindi.

Salbiy dalillar

Umuman olganda, Karlson integrallarining x, y, z argumentlari haqiqiy va salbiy bo'lmasligi mumkin, chunki bu a filial nuqtasi integralni noaniq qilib, integratsiya yo'lida. Ammo, ning ikkinchi argumenti bo'lsa , yoki to'rtinchi argument, p, ning manfiy, keyin bu a ga olib keladi oddiy qutb integratsiya yo'lida. Bunday hollarda Koshining asosiy qiymati (cheklangan qismi) integrallarning qiziqishi bo'lishi mumkin; bular

va

qayerda

uchun noldan katta bo'lishi kerak baholanishi kerak. Bu $ x, y $ va $ z $ ni almashtirish orqali tartibga solinishi mumkin, shunda $ y $ qiymati $ x $ va $ z $ o'rtasida bo'ladi.

Raqamli baholash

Ikki nusxadagi teoremadan elliptik integrallarning Karlson nosimmetrik shaklini tez va mustahkam baholash uchun foydalanish mumkin, shuning uchun ham elliptik integrallarning Legendre-shaklini baholash uchun. Keling, hisoblab chiqamiz : birinchi, aniqlang , va . Keyin ketma-ketlikni takrorlang

kerakli aniqlikka erishilgunga qadar: agar , va manfiy emas, barcha qatorlar tezda berilgan qiymatga yaqinlashadi, masalan, . Shuning uchun,

Baholash munosabat tufayli bir xil

Adabiyotlar va tashqi havolalar

  1. ^ Karlson, Bille C. (1994). "Haqiqiy yoki murakkab elliptik integrallarning sonli hisobi". arXiv:matematik / 9409227v1.