Abels identifikatori - Abels identity - Wikipedia

Yilda matematika, Hobilning kimligi (shuningdek, deb nomlanadi Hobilning formulasi[1] yoki Abelning differentsial tenglama identifikatori) ifodalaydigan tenglama Vronskiy bir hil ikkinchi darajali chiziqli ikkita eritmaning oddiy differentsial tenglama asl differentsial tenglamaning koeffitsienti nuqtai nazaridan. munosabatni umumlashtirish mumkin ntartibli chiziqli oddiy differentsial tenglamalar. Shaxsiyat nomi bilan nomlangan Norvegiya matematik Nil Henrik Abel.

Chunki Hobilning o'ziga xosligi boshqacha chiziqli mustaqil differentsial tenglamaning echimlari, undan ikkinchisidan bitta echimni topish uchun foydalanish mumkin. U echimlar bilan bog'liq foydali identifikatorlarni taqdim etadi va shuningdek, kabi boshqa usullarning bir qismi sifatida foydalidir parametrlarni o'zgartirish usuli. Kabi tenglamalar uchun ayniqsa foydalidir Bessel tenglamasi bu erda echimlar oddiy analitik shaklga ega emas, chunki bunday hollarda Wronskianni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash qiyin.

Bir hil chiziqli differentsial tenglamalarning birinchi tartibli tizimlariga umumlashma quyidagicha berilgan Liovil formulasi.

Bayonot

A ni ko'rib chiqing bir hil chiziqli ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama

bo'yicha oraliq Men ning haqiqiy chiziq bilan haqiqiy - yoki murakkab - baholangan doimiy funktsiyalar p va q. Hobilning shaxsiyati Wronskian ekanligini ta'kidlaydi ikkita real yoki murakkab qiymatli echimlardan va bu differentsial tenglamaning, ya'ni funktsiyasi aniqlovchi

munosabatni qanoatlantiradi

har bir nuqta uchun x0 yilda Men, qayerda C ixtiyoriy doimiy.

Izohlar

  • Xususan, Wronskian har doim nol funktsiyasi yoki har doim har xil nuqtada bir xil belgi bilan noldan farq qiladi yilda . Ikkinchi holatda, ikkita echim va chiziqli ravishda mustaqil (isbot uchun Wronskian haqidagi ushbu maqolaga qarang).
  • Eritmalarning ikkinchi hosilalari deb o'ylash shart emas va doimiydir.
  • Agar Abel teoremasi ayniqsa foydalidir, agar , chunki bu shuni anglatadiki doimiy.

Isbot

Differentsiallash Wronskian mahsulot qoidasi beradi (yozish uchun va argumentni qoldirish qisqalik uchun)

Uchun hal qilish asl differentsial tenglamada hosil bo'ladi

Ushbu natijani Wronskian funktsiyasining lotiniga almashtirish ning ikkinchi hosilalarini almashtirish uchun va beradi

Bu birinchi darajali chiziqli differentsial tenglama va shuni ko'rsatadiki, Hobilning o'ziga xosligi qiymatga erishadigan noyob echimni beradi da . Funktsiyadan beri uzluksiz , ning har bir yopiq va chegaralangan subintervalida chegaralangan va shuning uchun integral, shuning uchun

aniq belgilangan funktsiya. Mahsulot qoidasidan foydalangan holda ikkala tomonni farqlash zanjir qoidasi, ning hosilasi eksponent funktsiya va hisoblashning asosiy teoremasi, biri oladi

uchun differentsial tenglama tufayli . Shuning uchun, doimiy bo'lishi kerak , chunki aks holda biz bilan ziddiyatni qo'lga kiritamiz o'rtacha qiymat teoremasi (murakkab qimmatli holatdagi haqiqiy va xayoliy qismga alohida qo'llaniladi). Beri , Hobilning identifikatori ta'rifini hal qilish orqali keladi uchun .

Umumlashtirish

Bir hil chiziqli chiziqni ko'rib chiqing buyurtma () oddiy differentsial tenglama

oraliqda real yoki murakkab qiymatga ega doimiy funktsiya bilan haqiqiy chiziqning . Hobilning shaxsiyligini umumlashtirish Wronskian deb ta'kidlaydi ning haqiqiy yoki murakkab qiymatli echimlar bu th-tartibli differentsial tenglama, ya'ni bu determinant tomonidan aniqlangan funktsiya

munosabatni qanoatlantiradi

har bir nuqta uchun yilda .

To'g'ridan-to'g'ri dalil

Qisqartirish uchun biz yozamiz uchun va argumentni qoldiring . Vronskiyning birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamani echishini ko'rsatish kifoya

chunki dalilning qolgan qismi ish uchun asosiga to'g'ri keladi .

Bunday holda bizda ... bor va uchun differentsial tenglama bilan mos keladi . Shuning uchun, taxmin qiling quyidagi.

Wronskiyanning hosilasi belgilovchi determinantning hosilasi hisoblanadi. Dan kelib chiqadi Determinantlar uchun Leybnits formulasi bu lotinni har bir satrni alohida ajratish orqali hisoblash mumkin, demak

Shu bilan birga, kengayishdagi har bir determinant bir juft qatorni o'z ichiga olganiga e'tibor bering, oxirgisi bundan mustasno. Chiziqqa bog'liq qatorlarga ega bo'lgan determinantlar 0 ga teng bo'lganligi sababli, bittasida faqat bittasi qoladi:

Har bir narsadan beri oddiy differentsial tenglamani echadi, bizda mavjud

har bir kishi uchun . Demak, yuqoridagi determinantning oxirgi qatoriga qo'shilish birinchi qatorga, uning ikkinchi qatorini marta va shunga qadar sonining keyingi qatoriga marta, ning hosilasi uchun determinantning qiymati o'zgarmagan va biz olamiz

Liovil formulasidan foydalangan holda isbotlash

Yechimlar kvadrat-matritsali qiymatli eritmani hosil qiling

ning bir hil chiziqli differentsial tenglamalarning o'lchovli birinchi tartibli tizimi

The iz Ushbu matritsaning , shuning uchun Hobilning shaxsiyati to'g'ridan-to'g'ri quyidagidan kelib chiqadi Liovil formulasi.

Adabiyotlar

  1. ^ Rainville, Graf Devid; Bedient, Fillip Edvard (1969). Elementar differentsial tenglamalar. Collier-Macmillan International Editions.