Texnik kohomologiya - Čech cohomology

A Penrose uchburchagi birinchi kohomologiyasining noan'anaviy elementini tasvirlaydi halqa kuzatuvchidan masofalar guruhidagi qiymatlar bilan^[1]

Yilda matematika, xususan algebraik topologiya, Texnik kohomologiya a kohomologiya ning kesishish xususiyatlariga asoslangan nazariya ochiq qopqoqlar a topologik makon. U matematik uchun nomlangan Eduard Chex.

Motivatsiya

Ruxsat bering X topologik makon bo'ling va ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ning ochiq qopqog'i bo'ling X. Ruxsat bering ${ displaystyle N ({ mathcal {U}})}$ ni belgilang asab qoplama. Chex kohomologiyasining g'oyasi shundan iboratki, ochiq qopqoq uchun ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ hosil bo'lgan sodda kompleksdan iborat bo'lgan etarlicha kichik ochiq to'plamlardan iborat ${ displaystyle N ({ mathcal {U}})}$ makon uchun yaxshi kombinatorial model bo'lishi kerak X. Bunday qopqoq uchun coech kohomologiyasi X deb belgilanadi sodda kohomologiya asab. Ushbu g'oya a tushunchasi bilan rasmiylashtirilishi mumkin yaxshi qopqoq. Biroq, yanada umumiy yondashuv to'g'ridan-to'g'ri chegara mumkin bo'lgan barcha ochiq qopqoqlar tizimi ustidan nerv kohomologik guruhlari Xtomonidan buyurtma qilingan takomillashtirish. Bu quyida qabul qilingan yondashuv.

Qurilish

Ruxsat bering X bo'lishi a topologik makon va ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bo'lishi a oldindan tayyorlangan ning abeliy guruhlari kuni X. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ bo'lish ochiq qopqoq ning X.

Simpleks

A q-oddiy σ ning ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ning buyurtma qilingan to'plamidir q+1 to'plam tanlandi ${ displaystyle { mathcal {U}}}$Shunday qilib, ushbu barcha to'plamlarning kesishishi bo'sh bo'lmaydi. Ushbu kesishma deyiladi qo'llab-quvvatlash ning σ va | σ | bilan belgilanadi.

Endi ruxsat bering ${ displaystyle sigma = (U_ {i}) _ {i in {0, ldots, q }}}$ shunday bo'ling a q-sodda. The j-chi qisman chegara ning σ (sifatida belgilanadiqRemoving1) - oddiyini olib tashlash yo'li bilan olingan j-dan from gacha o'rnatilgan, ya'ni:

${ displaystyle kısalt _ {j} sigma: = (U_ {i}) _ {i in {0, ldots, q } setminus {j }}.}$

The chegara ning σ qisman chegaralarning o'zgaruvchan yig'indisi sifatida aniqlanadi:

${ displaystyle kısalt sigma: = sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j + 1} kısalt _ {j} sigma}$

ning elementi sifatida qaraldi bepul abeliya guruhi ning soddaligi bilan yoyilgan ${ displaystyle { mathcal {U}}}$.

Cochain

A q-kokain ning ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ koeffitsientlari bilan ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ har biri bilan bog'langan xaritadir q- oddiy σ ning elementi ${ displaystyle { mathcal {F}} (| sigma |)}$ va biz barchasini belgilaymiz q- ning zanjirlari ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ koeffitsientlari bilan ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ tomonidan ${ displaystyle C ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$. ${ displaystyle C ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$ bu abel guruhidir.

Differentsial

Cochain guruhlarini a ga aylantirish mumkin kokain kompleksi ${ displaystyle (C ^ { bullet} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}), delta)}$ ta'rifi bilan chegara operatori ${ displaystyle delta _ {q}: C ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}) to C ^ {q + 1} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$ tomonidan:

${ displaystyle quad ( delta _ {q} f) ( sigma): = sum _ {j = 0} ^ {q + 1} (- 1) ^ {j} mathrm {res} _ {| sigma |} ^ {| qismli _ {j} sigma |} f ( qisman _ {j} sigma),}$

qayerda ${ displaystyle mathrm {res} _ {| sigma |} ^ {| kısalt _ {j} sigma |}}$ bo'ladi cheklash morfizmi dan ${ displaystyle { mathcal {F}} (| qismli _ {j} sigma |)}$ ga ${ displaystyle { mathcal {F}} (| sigma |).}$

Hisoblash shuni ko'rsatadiki ${ displaystyle delta _ {q + 1} circ delta _ {q} = 0.}$

The chegara operatori o'xshashdir tashqi hosila ning De Rham kohomologiyasi, shuning uchun ba'zan uni differentsial deb atashgan kokain kompleksi.

Velosiped

A q-kochain a deyiladi qyadrosida bo'lsa, tsikl ${ displaystyle delta}$, demak ${ displaystyle Z ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}): = ker ( delta _ {q}) subseteq C ^ {q} ({ mathcal {U }}, { mathcal {F}})}$ barchaning to'plamidir q- velosipedlar.

Shunday qilib a (q−1) -kochain ${ displaystyle f}$ agar bu hamma uchun bo'lsa, bu tsikl q- oddiy nusxalar ${ displaystyle sigma}$ tsiklning holati

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} mathrm {res} _ {| sigma |} ^ {| kısalt _ {j} sigma |} f ( qisman _ {j} sigma) = 0}$

ushlab turadi.

0-tsikl ${ displaystyle f}$ ning mahalliy bo'limlari to'plamidir ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ har bir kesishgan joyda moslik munosabatini qondirish ${ displaystyle A, B in { mathcal {U}}}$

${ displaystyle f (A) | _ {A cap B} = f (B) | _ {A cap B}}$

1-tsikl ${ displaystyle f}$ har bir bo'sh bo'lmagan uchun qondiradi ${ displaystyle U = A cap B cap C}$ bilan ${ displaystyle A, B, C in { mathcal {U}}}$

${ displaystyle f (B cap C) | _ {U} -f (A cap C) | _ {U} + f (A cap B) | _ {U} = 0}$

Coboundary

A q-kochain a deyiladi q- agar u tasvirida bo'lsa, chegara ${ displaystyle delta}$ va ${ displaystyle B ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}): = mathrm {Im} ( delta _ {q-1}) subseteq C ^ {q} ( { mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$ barchaning to'plamidir q- chegaralar.

Masalan, 1 kokain ${ displaystyle f}$ 0-kokain mavjud bo'lsa, bu 1-chegaradir ${ displaystyle h}$ shunday qilib, har bir kesishgan joy uchun ${ displaystyle A, B in { mathcal {U}}}$

${ displaystyle f (A cap B) = h (A) | _ {A cap B} -h (B) | _ {A cap B}}$

Kogomologiya

The Texnik kohomologiya ning ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ qiymatlari bilan ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ kokain kompleksining kohomologiyasi deb belgilangan ${ displaystyle (C ^ { bullet} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}), delta)}$. Shunday qilib qth kohomology tomonidan berilgan

${ displaystyle { check {H}} ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}): = H ^ {q} ((C ^ { bullet} ({ mathcal) {U}}, { mathcal {F}}), delta)) = Z ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}) / B ^ {q} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$.

Ning texnik kohomologiyasi X ko'rib chiqish bilan belgilanadi aniqliklar ochiq qopqoqlardan. Agar ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ takomillashtirish hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ keyin kohomologiyada xarita mavjud ${ displaystyle { check {H}} ^ {*} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}}) to { check {H}} ^ {*} ({ mathcal {V) }}, { mathcal {F}}).}$ Ning ochiq qopqoqlari X shakl yo'naltirilgan to'plam tozalanish ostida, shuning uchun yuqoridagi xarita a ga olib keladi to'g'ridan-to'g'ri tizim abeliya guruhlari. The Texnik kohomologiya ning X qiymatlari bilan ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ deb belgilanadi to'g'ridan-to'g'ri chegara ${ displaystyle { check {H}} (X, { mathcal {F}}): = varinjlim _ { mathcal {U}} { check {H}} ({ mathcal {U}}, { mathcal {F}})}$ ushbu tizimning.

Ning texnik kohomologiyasi X qat'iy abeliya guruhidagi koeffitsientlar bilan A, belgilangan ${ displaystyle { check {H}} (X; A)}$, deb belgilanadi ${ displaystyle { check {H}} (X, { mathcal {F}} _ {A})}$ qayerda ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {A}}$ bo'ladi doimiy to'plam kuni X tomonidan belgilanadi A.

Čech kohomologiyasining bir varianti, deyiladi sonli texnik kohomologiya, yuqoridagi kabi belgilanadi, faqat ko'rib chiqilgan barcha ochiq qopqoqlar talab qilinadi raqamli: ya'ni a birlikning bo'linishi {r_men} Shunday qilib, har bir qo'llab-quvvatlash ${ displaystyle {x mid rho _ {i} (x)> 0 }}$ qopqoqning ba'zi elementlarida mavjud. Agar X bu parakompakt va Hausdorff, keyin raqamli texnik kohomologiya odatdagi texnik kohomologiya bilan mos keladi.

Boshqa kohomologiya nazariyalari bilan bog'liqligi

Agar X bu homotopiya ekvivalenti a CW kompleksi, keyin coech kohomologiyasi ${ displaystyle { check {H}} ^ {*} (X; A)}$ bu tabiiy ravishda izomorfik uchun singular kohomologiya ${ displaystyle H ^ {*} (X; A) ,}$. Agar X a farqlanadigan manifold, keyin ${ displaystyle { check {H}} ^ {*} (X; mathbb {R})}$ shuningdek, tabiiy ravishda izomorfdir de Rham kohomologiyasi; de Rham kohomologiyasi haqidagi maqolada ushbu izomorfizm haqida qisqacha ma'lumot berilgan. O'zini yaxshi tuta olmaydigan bo'shliqlar uchun texnik kohomologiya singular kohomologiyadan farq qiladi. Masalan, agar X bo'ladi yopiq topologning sinus egri chizig'i, keyin ${ displaystyle { check {H}} ^ {1} (X; mathbb {Z}) = mathbb {Z},}$ Holbuki ${ displaystyle H ^ {1} (X; mathbb {Z}) = 0.}$

Agar X farqlanadigan manifold va qopqoq ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ning X "yaxshi qopqoq" (ya'ni barcha to'plamlar U_a bor kontraktiv nuqtaga va to'plamlarning barcha cheklangan kesishmalariga ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ yoki bo'sh yoki shartli), keyin ${ displaystyle { check {H}} ^ {*} ({ mathcal {U}}; mathbb {R})}$ de Rham kohomologiyasi uchun izomorfdir.

Agar X ixcham Xausdorff, keyin chex kohomologiyasi (koeffitsientlari diskret guruhga ega) Aleksandr-Ispaniya kohomologiyasi.

Algebraik geometriyada

Texnik kohomologiyani odatda a-dagi ob'ektlar uchun aniqlash mumkin sayt C topologiya bilan ta'minlangan. Bu, masalan, Zariski saytiga yoki a saytining etale saytiga taalluqlidir sxema X. Ba'zilaridagi qiymatlar bilan texnik kohomologiya dasta F sifatida belgilanadi

${ displaystyle { check {H}} ^ {n} (X, F): = varinjlim _ { mathcal {U}} { check {H}} ^ {n} ({ mathcal {U}} , F).}$

qaerda kolimit ning barcha qoplamalari bo'ylab (tanlangan topologiyaga nisbatan) ishlaydi X. Bu yerda ${ displaystyle { check {H}} ^ {n} ({ mathcal {U}}, F)}$ yuqoridagi kabi belgilanadi, bundan tashqari r- atrofdagi topologik bo'shliq ichidagi ochiq pastki to'plamlarning katlamli kesishmalari r- katlama tola mahsuloti

${ displaystyle { mathcal {U}} ^ { times _ {X} ^ {r}}: = { mathcal {U}} times _ {X} dots times _ {X} { mathcal { U}}.}$

Topologik bo'shliqlarning klassik holatida bo'lgani kabi, har doim ham xarita mavjud

${ displaystyle { check {H}} ^ {n} (X, F) rightarrow H ^ {n} (X, F)}$

coech kohomologiyasidan sheaf kohomologiyasi. Bu har doim darajadagi izomorfizmdir n = 0 va 1, lekin umuman bunday bo'lmasligi mumkin. Uchun Zariski topologiyasi a Noeteriya ajratilgan sxema, Čech va sheaf kohomologiyasi har qanday narsaga mos keladi kvazi-izchil sheaf. Uchun etale topologiyasi, ikkala kohomologiya har qanday etal sheaf uchun kelishib oladi X, har qanday cheklangan nuqtalar to'plami sharti bilan X ba'zi bir ochiq affine subsekemasida mavjud. Bu qondiriladi, masalan, agar X bu kvazi-proektiv ustidan afine sxemasi.^[2]

Cech kohomologiyasi va sheaf kohomologiyasi o'rtasidagi mumkin bo'lgan farq foydalanish uchun turtki hisoblanadi giper qoplamalar: bu Cechga qaraganda ko'proq umumiy narsalar asab

${ displaystyle N_ {X} { mathcal {U}}: dots to { mathcal {U}} times _ {X} { mathcal {U}} times _ {X} { mathcal {U }} to { mathcal {U}} times _ {X} { mathcal {U}} to { mathcal {U}}.}$

Giper qoplama K_∗ ning X a soddalashtirilgan ob'ekt yilda C, ya'ni ob'ektlar to'plami K_n chegara va degeneratsiya xaritalari bilan birgalikda. Bir dastani qo'llash F ga K_∗ hosil beradi a sodda abeliya guruhi F(K_∗) kimniki n- kohomologiya guruhi belgilanadi Hⁿ(F(K_∗)). (Bu guruh xuddi shunday ${ displaystyle { check {H}} ^ {n} ({ mathcal {U}}, F)}$ bo'lgan holatda K teng ${ displaystyle N_ {X} { mathcal {U}}}$.) Keyin, kanonik izomorfizm mavjudligini ko'rsatish mumkin

${ displaystyle H ^ {n} (X, F) = varinjlim _ {K _ {*}} H ^ {n} (F (K _ {*})),}$

hozirda kolimit barcha giper qoplamalar bo'ylab ishlaydi.^[3]

Misollar

Masalan, ning izchil kogomologiyasini hisoblashimiz mumkin ${ displaystyle Omega ^ {1}}$ proektsion chiziqda ${ displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {1}}$ Čech kompleksidan foydalanish. Muqovadan foydalanish

${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {1} = { text {Spec}} ( mathbb {C} [y]), U_ {2} = { text {Spec}} ( mathbb {C} [y ^ {- 1}]) }}$

bizda kotangens sheafdan quyidagi modullar mavjud

${ displaystyle { begin {aligned} & Omega ^ {1} (U_ {1}) = mathbb {C} [y] dy & Omega ^ {1} (U_ {2}) = mathbb {C} left [y ^ {- 1} right] dy ^ {- 1} end {hizalanmış}}}$

Agar biz konventsiyalarni olsak ${ displaystyle dy ^ {- 1} = - (1 / y ^ {2}) dy}$ keyin biz Čech kompleksini olamiz

${ displaystyle 0 to mathbb {C} [y] dy oplus mathbb {C} left [y ^ {- 1} right] dy ^ {- 1} { xrightarrow {d ^ {0}} } mathbb {C} left [y, y ^ {- 1} right] dy to 0} gacha$

Beri ${ displaystyle d ^ {0}}$ in'ektsion va tasvirdagi yagona element ${ displaystyle d ^ {0}}$ bu ${ displaystyle y ^ {- 1} dy}$ biz buni tushunamiz

${ displaystyle { begin {aligned} & H ^ {1} ( mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {1}, Omega ^ {1}) cong mathbb {C} & H ^ {k} ( mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {1}, Omega ^ {1}) cong 0 { text {for}} k neq 1 end {aligned}} }$

Adabiyotlar

Iqtibos izohlari

Umumiy ma'lumotnomalar

• Bott, Raul; Loring Tu (1982). Algebraik topologiyadagi differentsial shakllar. Nyu-York: Springer. ISBN  0-387-90613-4.
• Xetcher, Allen (2002). Algebraik topologiya. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-79540-0.
• Uells, Raymond (1980). Murakkab manifoldlar bo'yicha differentsial tahlil. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0. ISBN  3-540-90419-0. 2-bob Ilova A